Quod Erat Demonstrandum

2009/06/04

溫書題

Filed under: HKALE,HKCEE,mathematics,Pure Mathematics — johnmayhk @ 4:28 下午
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這是溫書時期。

1. 有關數列的題目

這是校內 2007-2008 年度純數期終試其中一題:
=======================================
Let {a_n} be a sequence of positive integers. Define sequences {b_n} and {c_n} as
b_1 = a_1, b_2 = a_1a_2 + 1, b_{n+2} = a_{n+2}b_{n+1} + b_{n}. (n \in \mathbb{N})
c_1 = 1, c_2 = a_2, c_{n+2} = a_{n+2}c_{n+1} + c_{n}. (n \in \mathbb{N})
Let x_n = \frac{b_n}{c_n}. (n \in \mathbb{N})

Show that x_1 \le \lim_{n \rightarrow \infty}x_n \le 1 + x_1.
=======================================

不難以 M.I. 證明 b_{n+1}c_n - b_nc_{n+1} = (-1)^{n-1} (n \in \mathbb{N})

那麼

x_{n+2} - x_n = \frac{a_{n+2}(b_{n+1}c_n - b_nc_{n+1})}{c_nc_{n+1}} = \frac{a_{n+2}(-1)^{n-1}}{c_nc_{n+1}}

從上式立即知道單項數列遞增,雙數列下降,即

x_1 < x_3 < x_5 < \dotsx_2 > x_4 > x_6 > \dots

再以 Monotonic sequence theorem 證明單雙數列極限存在。

比較相鄰兩項

x_{2n+1} - x_{2n} = \frac{(-1)^{2n-1}}{c_{2n}c_{2n+1}} < 0 - – – – – – (*)

x_{2n+1} < x_{2n},得

x_1 < x_3 < x_5 < \dots < x_{2n+1} < x_{2n} < \dots < x_4 < x_2,故

單數列存在上限 x_2;雙數列存在下限 x_1;由 MST,即單雙數列極限皆存在。

在 (*) 取極限,

\lim_{n \rightarrow \infty}(x_{2n+1} - x_{2n}) = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^{2n-1}}{c_{2n}c_{2n+1}} = 0

這是因為 {c_n} 是遞增正整數數列。也說明了

\lim_{n \rightarrow \infty}x_{2n+1} =  \lim_{n \rightarrow \infty}x_{2n}

到最後一步,陳同學給了一個比 suggested solution 更好的方法:

x_{2n} > 1,故 \lim_{n \rightarrow \infty}x_{2n} \ge 1,又 x_{2n+1} < x_2 = a_1 + \frac{1}{a_2} < a_1 + 1,故 \lim_{n \rightarrow \infty}x_{2n+1} \le x_1 + 1,由\lim_{n \rightarrow \infty}x_{2n+1} =  \lim_{n \rightarrow \infty}x_{2n},result follows.

真的比 suggested solution 好!

2. 讓我隨意出一道中四數學超短題:

20090604gif02

參考上圖.三角木板 ABC 鈄插平地上,已知 AB = 15 m,BC = 14 m,CA = 13 m。
(a) 求 △ABC 的面積;
(b) 已知 △ABD 是 △ABC 在平地上的垂直投影,其面積是 △ABC 的 60%,求 △ABC 和平地之夾角。

其他溫書題目,請往 download page 下載。

3. 中二同學,因我不見了很多堂,溫習的東西要遲一點補上。

4. 聽到同學們雀躍地告訴我,他們今晚將出席六四悼念晚會,心中感動。維園見!

2 則迴響 »

  1. 阿sir,個sequence show唔到ar

    迴響 由 lau ming — 2009/06/13 @ 3:13 下午 | 回覆

  2. 即係點?

    迴響 由 johnmayhk — 2009/06/16 @ 11:10 上午 | 回覆


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