Quod Erat Demonstrandum

2009/06/26

閒談一些基本東西:導數符號,函數,解釋

1. 高階導數的符號

同學問,為何 D 兩次(即求二階導數)的符號是

\frac{d^2y}{dx^2}

而不是

\frac{dy^2}{dx^2} 或 \frac{d^2y}{d^2x}

記得 CJ 老師曾經出上面的來考同學。

我不知其來源,只是靠估兼無聊地說:

比如求 y 的導數(w.r.t. x),我們可以表達成 \frac{d}{dx}y,這個 \frac{d}{dx} 可視為運算子(operator)。

y 的二階導數,即 \frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}y),我們可以想像為:運算子作用在 y 兩次。循運算子的看法,\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}y) 可表為 (\frac{d}{dx})(\frac{d}{dx})y,於是,它看起來「好像」「二次方」的運算(當然不是真的二次方啦!),借用一下「二次方」的記法,即 (\frac{d}{dx})^2y,於是自然地,寫它為 \frac{d^2}{dx^2}y,或曰 \frac{d^2y}{dx^2} 是也。一般地,由記法 (\frac{d}{dx})^ny\frac{d^ny}{dx^n}

2. 不定義的函數

有沒有聽過以下的句子?

「證明函數 f 是有定義(well-defined)」
「這個函數 f 沒有定義」

現在中一已經引入函數的概念,同學對函數相信也能了解一二,但上述句子,有沒有問題?

純數課告訴我們,如果關係(relation)f 被稱為函數,那麼 f 必然是有定義的。那麼「證明函數 f 是有定義」這說法好像有點問題,「這個函數 f 沒有定義」也有點奇怪。

比如設 f(\frac{a}{b},\frac{c}{d}) = \frac{a+c}{b+d},其中 a,b,c,d 為正整數。

這個 f 的運算,就是小學生發明的神奇分數加法!這是學分數加法時的一個「難點」。

看看 f 這個東西,明顯地,它不是函數,因為它不符合:「一個輸入,一個輸出」,例如

f(\frac{1}{2},\frac{3}{4}) = \frac{1+3}{2+4} = \frac{2}{3}
f(\frac{2}{4},\frac{3}{4}) = \frac{2+3}{4+4} = \frac{5}{8}

同樣輸入 (\frac{1}{2},\frac{3}{4})(\frac{2}{4},\frac{3}{4}),輸出迥異。

f 不是函數(function),那麼我們如何稱呼這些 f?Gower 提議用 “gunction" 這個字,有興趣有耐性的同學,不況看看以下文章,特別是讀者回應部分:

http://gowers.wordpress.com/2009/06/08/why-arent-all-functions-well-defined/

3. 解釋和簡略地解釋

在數學考題,著學生 Explain 和 Explain briefly 有沒有分別?如何界定一個「解釋」,真的是一個有效的解釋?肯定不是字數。

比如,試簡略解釋:「設 Z ~ N(0,1),當區間 (p,q) 的長度(width)固定,則當 p = -q 時, P(p < Z < q) 的值最大。」

如果單單說一句:從常態分佈的圖像得之。那麼,可否視它為「簡略地解釋」?

雖然這不是百分百錯誤的解釋,但這似乎不算有效的解釋,起碼,究竟從常態分佈的圖像的什麼(特性)得之?

設區間 (p,q) 長度固定為 2kk > 0)。把圖像畫出如下

20090626gif01

(p,q) 置中,即 p = -k, q = kP(p < Z < q) = A,把 (p , q) 右移一些,如圖所示,則在新的位置,P(p < Z < q) = A + b - a,由常態分佈的圖像,可見 a > b,即區間在新位置對應的新概率(面積)A + b - a 比區間置中時對應的概率 A 少。

大家覺得這是不是一個有效解釋?是簡略解釋嗎?有沒有漏洞?

我也頗喜歡擬要學生解釋的題目,但當中涉及一些似乎不純為數學的問題,比如界定解釋的有效與否,除了運算能力,更難的可能是溝通能力。

數學人喜歡的,相信是冰冷無誤語言:

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{x+2k}\exp(-z^2/2)dz
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\exp(-\frac{(x+2k)^2}{2}) - \exp(-\frac{x^2}{2})) = 0 \Rightarrow x = -k
f''(-k) < 0,故當 x = -kf(x) 達到最大值。

相信這肯定較之前的解釋有效,但簡略嗎?

4 則迴響 »

  1. 呀sir呀,我想問circle o個條式算唔算係一個function?

    迴響 由 Carmen — 2009/08/13 @ 12:29 下午 | 回覆

  2. 不能單單「看條式」來判斷它是函數與否。

    我們還要考慮「定義域」(domain)和「上域」(codomain),分別「好像」機器的「輸入」和「輸出」。

    讓我以最粗疏的言語解釋。

    比如

    y = \frac{1}{x} 是不是函數(function of x)?

    不能回答。

    例如,輸入的數值(即 x)是非零(即定義域為 x \ne 0),且輸出的數字(即 y)也規定是非零(即上域是 y \ne 0),我們才可說 yx 的函數。

    但若果輸入的數值沒有「非零」這個規定,則我們不能說yx 的函數,因為當 x = 0 時,y 是無定義(undefined)。

    又或者,雖然定義域為 x \ne 0,但若我們規限上域為 y > 0,則我們也不能說 yx 的函數。因為,例如輸入 x = -2,應該得 y = -\frac{1}{2},但因我們規定了 y > 0,即是說當 x = -2,我們「計唔到」y(的數值)。

    再拿你問的圓形方程做例,x^2 + y^2 = 1 是函數嗎?現階段不能回答,但當規定了

    定義域為 -1 \le x \le 1,且上域為 y \ge 0,那麼,y 確實是 x 的函數。

    但若定義域和上域分別是「任何實數」,那麼上述表達的 xy 關係,就不是函數,比如輸入 x = \frac{1}{2}y = \pm \sqrt{\frac{3}{4}},出現多於一個「輸出」,故它不是函數。

    迴響 由 johnmayhk — 2009/08/13 @ 5:59 下午 | 回覆

  3. 咁點解書上面冇做到考慮「定義域」和「上域」既?

    仲有係唔係所有既式經過考慮「定義域」和「上域」都可以成為函數架?

    唔該呀sir^_^

    迴響 由 Carmen — 2009/08/13 @ 7:03 下午 | 回覆

  4. >係唔係所有既式經過考慮「定義域」和「上域」都可以成為函數架?

    暫時答不出,我還在思考「所有既式」這個說法是否有定義。

    >點解書上面冇做到考慮「定義域」和「上域」既?

    或許是教學(而非純粹是數學)上的考慮。

    好比化學中的原子模型,學習過程「由粗疏到精確」,「相信」是有利學習者掌握概念。

    其實純數的教科書必有提及函數的定義,你雖是中四五生,但相信看純數的東西問題不大。

    迴響 由 johnmayhk — 2009/08/13 @ 7:43 下午 | 回覆


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