# Quod Erat Demonstrandum

## 2009/07/02

### 十進制轉二進制

Filed under: HKCEE,Junior Form Mathematics,mathematics — johnmayhk @ 12:13 下午
Tags: ,

$0.5_{(10)}$ 如何轉成二進數？這個也簡單，

$0.5_{(10)} = \frac{1}{2} = 0.1_{(2)}$

$0.4_{(10)}$ 如何轉成二進數？

(a) 任何形如 $\frac{n}{2^k}$ 的有理數必可轉成二進數。（其中 $n$, $k$ 為正整數）

$\frac{5}{64} = \frac{5}{2^6}$

$\frac{5}{64} = \frac{2^2 + 2^0}{2^6} = \frac{1}{2^3}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2^3}) = 0.000101_{(2)}$

$0.111\dots_{(2)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots$

$0.111\dots_{(2)} = 1_{(10)}$

$0.101010\dots_{(2)} = 0.\overline{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \dots = \frac{2}{3}$

$0.\overline{110} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2}) + (\frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5}) + \dots = \frac{3}{2^2} + \frac{3}{2^5} + \dots = \frac{6}{7}$

$0.\overline{00101} = (\frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5}) + (\frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^{10}}) + \dots = \frac{5}{2^5} + \frac{5}{2^{10}} = \frac{5}{31}$

(b) 形如 $\frac{2^m}{2^k - 1}$ （其中 $m$　為非負整數， $k (k > m)$ 為正整數） 必能轉成二進數。

$\frac{2^m}{2^k - 1} = \frac{2^{m-k}}{1-\frac{1}{2^k}} = \frac{1}{2^{k-m}} + \frac{1}{2^{2k-m}} + \frac{1}{2^{3k-m}} + \dots$

$\frac{1}{7} = \frac{2^0}{2^3 - 1} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} + \dots = 0.\overline{001}$
$\frac{2}{7} = \frac{2^1}{2^3 - 1} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^5} + \dots = 0.\overline{01001}_{(2)}$

$\frac{3}{7} = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = 0.\overline{001} + 0.\overline{01001} = 0.\overline{011}_{(2)}$

(c) 形如 $\frac{a}{2^k - 1}$ （其中 $a, k$ 為正整數）的有理數必可轉為二進數

$\frac{5}{7} = (2^2 + 2^0)(\frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} + \dots) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^4} + \dots) + (\frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} + \dots)$
$=\frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} + \dots = 0.1\overline{011}_{(2)}$

$0.1011011101111\dots_{(2)} = ?$

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

$\frac{1}{7}$
$= \frac{1}{2^3}\frac{2^3}{7}$ (分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 7)
$= \frac{1}{2^3}(1 + \frac{1}{7})$
$= \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^3}\frac{1}{7}$ (看 $\frac{1}{7}$ 又走了出來)
$= \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^3}(\frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^3}\frac{1}{7})$ (又重覆出現，可歸納了)
$\dots$
$= \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^9} + \dots$
$= 0.\overline{001}_{(2)}$

$\frac{2}{5}$
$= \frac{1}{2^2}\frac{8}{5}$ (分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 5)
$= \frac{1}{2^2}(1 + \frac{3}{5})$
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2}\frac{3}{5}$
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}\frac{6}{5}$ (分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 5)
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3}(1 + \frac{1}{5})$
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^3}\frac{1}{5}$
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6}\frac{2^3}{5}$ (分子分母同時乘 2 的冪，以致分子剛剛大於分母 5)
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6}\frac{8}{5}$ (嗯，$\frac{8}{5}$ 又出現了！)
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^4}\frac{8}{5})$
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{2^{10}}\frac{8}{5}$
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{2^{10}}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^4}\frac{8}{5})$
$= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{2^{14}} + \dots$
$= 0.0\overline{1100}_{(2)}$

=========================================

## 9 則迴響 »

1. use the powerful wolfram alpha
search" convert 0.4 to base 2″

迴響 由 路人甲 — 2009/07/02 @ 7:39 下午 | 回應

2. 比路人甲快我一步！Thx！

因在校外開會，晚上回家再打打後記（見內文）。

迴響 由 johnmayhk — 2009/07/02 @ 11:30 下午 | 回應

3. […] 3年沒算數學題 老師教的東西也差不多忘得一乾二淨 剛剛在wordpress 推介看到這個 Quod Erat Demonstrandum 數學blog的文章 十進制轉二進制 […]

通告 由 我的數學情意結 « — 2009/07/03 @ 1:59 下午 | 回應

4. 任何大於二的正整數都可以當成進位的基底來表示所有的有理數，不只2和10。
表為有限小數或無限循環小數。

迴響 由 Yee — 2009/07/03 @ 10:49 下午 | 回應

• 如何以非算法的方式保證該 bijection 存在？即以數系中的什麼特性來保證它。

迴響 由 johnmayhk — 2009/07/04 @ 5:56 下午 | 回應

5. 阿sir後後記的方法確實鬼斧神工,阿sir對數學的運算概念實在融會貫通,你的數感很強,在下甘拜下風

迴響 由 廢過大佬檠 — 2009/07/05 @ 12:11 下午 | 回應

• 所謂「青出於藍」，不日，你們的數學功力，必然遠超我之上，這就是我由 Day 1 開始的願望。

迴響 由 johnmayhk — 2009/07/05 @ 5:39 下午 | 回應

6. 如果懂得二進制加減，應該也可以利用 “後後記" 的同樣方法計算得出同樣結果。

即 2 = 10_(2)，5 = 101_(2)。2/5= 10_(2) / 101_(2)。利用長除法找餘數重複出現應可得知。

但令我感興趣的是，既然電腦以二進制計算，如何處理 0.4 這些二進制中的 “循環小數"？
若取很多小數位的近似值的話，0.4 的次方便用很多的計算時間？

迴響 由 hotcooljoe — 2009/07/19 @ 2:48 上午 | 回應

7. 我投降了 ……

迴響 由 森林木 — 2009/07/28 @ 11:10 下午 | 回應