Quod Erat Demonstrandum

2009/07/03

計到即存在?

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:41 上午
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初中時教解二次方程,我通常順便說一個無聊的例:

\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}} = ?

要求出「答案」,我們可設

x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}}

等號左右兩邊取平方,則

x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}

故此

x^2 = 2 + x

解出 x = 2x = -1(不合),亦即

\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}} = 2

當然,

\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}}

的表達有點兒「唔清唔楚」,清楚一點的表達,比如是

\left \{ \begin{array}{ll} a_1 = 2\\a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} (n \in \mathbb{N})\end{array}\right.

\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}} = \lim_{n \rightarrow \infty}a_n

中六修純數的同學知道,我們「計」極限時,要先證明極限存在,然後才進行上述「代 x」 的計算。

同學會質疑:「明明已經計到極限出來(像低年級時做的),豈不就說明它存在嗎?為何還要先(比方說,用 monotonic sequence theorem 來)證明極限存在?」

其實所謂「計到」,不一定代表極限存在,舉個例:

\left \{ \begin{array}{ll} b_1 = 1\\b_{n+1} = \sqrt{1 - b_n} (n \in \mathbb{N})\end{array}\right.

\sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - \dots}}} = \lim_{n \rightarrow \infty}b_n

如果我們跟隨低年級學的方法,設

y = \sqrt{1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - \dots}}}

取平方,

y^2 = 1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - \dots}}

y^2 = 1 - y

「計出」 y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

不管哪一個值,總之取其中一個作極限,豈不是說極限存在嗎?

錯!{b_n} 根本是不收斂的,且看

b_1 = 1
b_2 = \sqrt{1 - 1} = 0
b_3 = \sqrt{1 - 0} = 1
\dots

可見 {b_n} 是發散的。此乃「計到,不一定存在」也。

1 則迴響 »

  1. Hi,

    An interesting analysis. Thanks!

    Cheers,
    Wen Shih

    迴響 由 Wen Shih — 2009/07/04 @ 5:47 上午 | 回覆


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