Quod Erat Demonstrandum

2009/07/06

公平分配

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 2:24 下午
Tags:

A.

小學一年級 IQ 題:如何公平地把 4 個橙公平分給 7 個小朋友?

答曰:哼,用搾汁機啦!(有 D 似「愛『夫』堅」廣告 …)

B.

開心 share 一個童年片段,是公平分配的反面教材,不知我的弟弟記得否?

話說 N 年前某天,某某送了一粒瑞士糖給我和弟弟,注意,係一粒(點解唔送多粒?)。因為粒糖好硬,刀不能分;於是我告訴弟弟:「等我咬一半畀你啦。」弟弟一直站在我旁,等呀等…等了很久…我還沒有分一半給他,出事!因為我一路咬下咬下,唔覺唔覺冇o左件事,成粒食曬!之後點?忘記了。

我欠弟弟的,又豈止粒糖?

C.

又話說 M 年前看過一齣記錄片,其中一幕討論:如何把蛋糕公平分配給兩個小孩。

如果由大人來分給他們,他們總會感到別的小孩的一份大於自己的,又要哭鬧一番。

片中提議一個方法:

由小孩 A 切蛋糕,告訴他:要公平地分成兩份呀,還有,分好後,是小孩 B 先取呀。

我沒有做過上述「實驗」,只是原則上似乎是 work 的。

[SBA] 又,若三人(或以上)要平分蛋糕,又如何?

D.

上述的例是二人分配,那麼多人分配又如何?現虛擬一例。

永遠可愛的正版小甜甜,已脫離塵世,其名下公司隨即人去樓空,資產全被瓜分,只留下三樣公司極品不動產「遺愛人間」:

極品 A:小甜甜絕版寫真集
極品 B:白馬王子安東尼珍藏風笛
極品 C:小甜甜媽媽的首飾盒

假設當初有四名投資人,以相同金額集資經營該公司。現在,如何把三樣極品公平地分給四人,使他們也滿意?

這裡有一個方法:大概是對各項不動產賦值,價高者得,再攤分差價。

即是如何?嗯,舉例。設四名投資者估價如下:

someone-2
大哨
A: HK$1,500
B: HK$2,500
C: HK$1,200

someone-3
大哨通
A: HK$1,000
B: HK$1,200
C: HK$1,500

someone-4
福仔
A: HK$1,500
B: HK$1,000
C: HK$1,800

someone-5
細丸爺爺
A: HK$2,800
B: HK$1,800
C: HK$1,600

畫表分析一下。

以「價高者得」的原則,易知各項極品不動產花落誰家(見表中項目 a),且以最高「投標價」作為該極品之價值(見項目 b)。

項目 c 是各投資者(按自己的標準)為極品定出的總估價;

項目 d 則是所謂投資者認為可取回的平均金額(即項目 c 的數據除以 4),什麼意思?

比方說,大哨認為,極品總值是 HK$5,200,那麼,當想像把所有極品化成等價的金錢(情況好像把所有橙「搾汁」,再平均分給若干小朋友),四名投資者,應該得到

HK$5,200 / 4 = HK$1,300

項目 e 是餘額(即項目 b 減去項目 d 的數據),什麼是餘額?

又拿大哨為例,他認為取回 HK$1,300 是公平的分配,但現在他應該「喜出望外」,因為他投得價值為 HK$2,500 的風笛,所以,在現階段,他多得了

HK$2,500 – HK$1,300 = HK$1,200

這就是所謂餘額。

表中所示,大哨、福仔和細丸爺爺也投得極品,且所得價值也超過他們的期望(即餘額為正數),單單是大哨通「分不到任何東西」,餘額是負數!為了彌補他的「損失」,其餘三名投資者也拿出若干金錢,集資給大哨通。這個合理,都因該三人都是有正餘額的。問題是,每人應該拿出多少?

把各人的餘額加起來,得到項目 f,名之曰「附加分享值」,取其平均數,得項目 g(即項目 g 的數據是項目 f 的除以 4),「平均附加分享值」HK$562.5。這是什麼?

就是說,最後結算時,每人得到的,都比預期的多 HK$562.5。此話何解?看下表:

考慮大哨的情況,他有餘額 HK$1,200,即他比預期多得 HK$1,200。若現在各人也要公平地,比他預期的多得 HK$562.5,那麼,大哨就要多付

HK$1,200 – HK$562.5 = HK$637.5

這就是項目 h 所示,各人額外支付的金額(即項目 e 減去項目 g 的數據)。

最後,項目 i 不過是各人得的(凈)總額(即項目 b 減去項目 h 的數據)。

雖然大哨通得不到極品,但也得到 HK$1,487.5,如眾投資者一樣,他的得益,比他自己原先認為的,多 HK$562.5。

公平清資。

鳴謝:YAHOO 圖片搜尋

3 則迴響 »

  1. 但是每人的 i 值不同會否引致不公平呢?

    另外,何苦要用埋啲咁複雜既方法呢?

    迴響 由 廢過大佬檠 — 2009/07/07 @ 3:59 下午 | 回覆

    • P.S.
      個哨字打錯咗做啃字

      迴響 由 廢過大佬檠 — 2009/07/07 @ 4:23 下午 | 回覆

    • 因為「假設當初有四名投資人,以相同金額集資經營該公司。」

      所以最終希望要有公平的分配。

      現在的公平由「各人也公平地,比他預期的多得 HK$562.5」來體現。

      嫌這方法複雜,有沒有簡單且公平的分配方式?

      迴響 由 johnmayhk — 2009/07/07 @ 5:45 下午 | 回覆


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