Quod Erat Demonstrandum

2009/07/29

無限 1

Filed under: mathematics — johnmayhk @ 12:06 上午
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在《論無限 – 無限的數學與哲學》一書的前言中,著者徐利治教授贊同數學家吳大任先生的意見:

「無窮」適用於離散數量;
「無限」則可用於離散或連續數量。

故我們會說:

「自然數有無窮多。」
「實數軸是無限長。」

第一章介紹了兩種數學哲學上的無限觀:

潛無限
實無限

以自然數列(sequence of natural numbers)為例,

基於「潛無限」的觀點,自然數列可以不斷延伸,卻不可能「完成」的;
基於「實無限」的觀點,自然數列是個所謂「完成了的整體」,包含了無限多個自然數。

「潛無限」的觀點下的自然數列模型記為:

\overrightarrow{\mathbb{N}} :{1 , 2 , 3 , …)

「實無限」的觀點下的自然數列模型記為:

\overline{\mathbb{N}} :{1 , 2 , 3 , …}

不同的無限觀可引申不同的數學結論,書中列舉數例,介紹一個來自 Brouwer 的例子。

我們知道圓周率 \pi 是無窮小數,設其小數展式為

\pi = 3.p_1p_2p_3 \dots p_n \dots

(即 p_1 = 1, p_2 = 4, p_3 = 1, etc)

若展式中出現 100 個連續的 0,則稱這串 0 為「百 0 位」。

把諸「百 0 位」中的第一個「百 0 位」之第一位數字 0 稱之為「首數」。

今定義 \overline{\pi} 如下:

情況 1. 若 \pi 的小數展式中沒有「百 0 位」或出現無限多「百 0 位」,則定義 \overline{\pi} = \pi

情況 2. 若 \pi 的小數展式中出現奇數個「百 0 位」,「首數」為 p_n,則定義 \overline{\pi} = 3.p_1p_2p_3 \dots p_n

情況 3. 若 \pi 的小數展式中出現偶數個「百 0 位」,「首數」為 p_n,則定義 \overline{\pi} = 3.p_1p_2p_3 \dots p_n1

好了,我們看看 q = \overline{\pi} - \pi 這個數。

我們要問,這個 q 滿足三分律嗎?(即 “q = 0“,"q > 0" 及 “q < 0" 這三個關係必有且僅有一個為真。)

基於「潛無限」的觀點,

\pi 的小數展式可以不斷延伸,卻永不能完成,於是上述三種情況也有可能,無法判斷,亦即無法確定 q,更不能談它是否滿足三分律;

基於「實無限」的觀點,

\pi 的小數展式是一個完成了的實無限展式,確知前述的三個情況必有一個出現,亦即 q 必然滿足三分律。

「潛無限」和「實無限」兩個「對立」的觀點,某程度來看,原來也可「統一」的。

"徐教授在 1980 年發表了題為【略論近代數學流派的無限觀和方法論】一文中,以自然數列無限性為例,述及「雙相無限」(double-phrased infinity)的概念,即謂無限過程乃是潛無限和實無限的對立統一體…數學上每種無限過程,本質上都是雙相無限…"(見 P.56)

我沒有認真學習過有關這個斷言的知識,穿鑿附會地抒發感受:類似物理上,光的「波粒二性」嗎?

哲學部份交待到這裡,下次談有趣的數學部分。

1 則迴響 »

  1. 應該唔係我地睇既…好在

    迴響 由 FTL — 2009/07/30 @ 3:05 上午 | 回覆


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