Quod Erat Demonstrandum

2009/08/31

拼出 $100

老題:利用面值 $10,$20 及 $50 紙幣若干張,要拼出 $100,問有多少組合方式?

可以拿 2 張 $50 紙幣,這是一種組合;
可以拿 3 張 $10,1 張 $20 及 1 張 $50,這是另一種組合;
……

那麼,共有多少種可能的組合?

這篇為承接昨天的發帖 (more…)

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2009/08/30

Finding general term by generating function

It is extremely easy to set up questions on number pattern, like

1, 3, 8, 19, 42, 89, ?

for more details, we may tabulate the question as:

the question is, when n = 6, what is the value of a_n?

My first reply to such kind of question is

“no need to do" (more…)

2009/08/27

[FW] 給樂道中學同學的一封信

Filed under: Report — johnmayhk @ 4:06 下午
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因看今天明報的小文:

再匆匆找昨天的明報,希望拜讀蘇老師的文章:《給樂道中學同學的一封信》

原來他已把文章上載,看一看吧:
http://www.oscar.idv.hk/blessing/farewell.pdf

這是蘇 sir 的個人網頁連結:
http://www.oscar.idv.hk

在顏冊聞說樂道中學上學年有 19 名教師離職,蘇 sir 是其中一位。

蘇 sir 把數學文章上載,得到獎項和認同,他也是輔導老師,工作也備受肯定。關於數學教育的探究,在下也有點興趣,只是我的心力有限,希望來年做好一點。想分享更多感受,遲一點啦。

2009/08/23

等闊曲線 2

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 12:28 下午
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上回介紹了其中一類等闊曲線:curvilinear polygon(曲線多邊形)的構作方法。依循該作法而得的曲線多邊形,其角(corner)的數目必為奇數,為何?以下圖顯示的七角曲線多邊形為例:

可以看到,

「每一個角對面對應著一個圓弧;同樣,每一個圓弧對面也對應著一個角」 – – – – – – (*)

任意由一個角出發,比方說,由角 A 出發, (more…)

2009/08/17

[FW] GeoSketch

Filed under: Fun,mathematics — johnmayhk @ 12:41 上午
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A student, woody, had forwarded the following game to me:

http://www.kongregate.com/games/Denial_Designs/geosketch

By putting three different parameters, we may create fun geometric curves easily, just show you some:


20,-8,9


40,-20,13


30,20,100

Try to create your own, have fun! Well, it may be a kind of learning and teaching aids in the topic of LOCUS, let’s try it!

2009/08/15

Think Before You Post

Filed under: Uncategorized — johnmayhk @ 12:17 上午

某會議中,因某說法被質疑,某某提議在互聯網上查證一下,會議主持人立即道:「互聯網上的資料不可信。」說得那麼堅決。

要推翻此等全稱命題,只要舉出一個反例便可。

不過,若果這是關乎「信心」的話,無論資料是真或假,有些人總要視之為「假」,別人也沒有辦法。

「上網時間多寡」與「對網上資訊的信任度」或許存在高於 0.5 的相關係數(亂吹的,有興趣者可繼續研究)。

知道我的學生和幾名網友曾看看這個網誌,心中感謝;但始終本人不過是中學授課員,而中學授課員經常被批評如下:

學者,站於知識和強大資源高地批評中學授課員無知;
補習社授課員,站於市場高地批評中學授課員無料到;
……

所以本人其實寧願做 CD-ROM。只因這網誌已經建立,不想荒廢,唯有在建網差不多兩周年的今天,以以下的 movie 儆戒自己:Think Before You Post

2009/08/10

等闊曲線 1

Filed under: Fun,HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 9:32 下午
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以前看小學 ETV,其中有討論:為何車輪的形狀要是圓形?因為圓形車輪可使車輛行駛時平穩,為說明這事,ETV 中虛擬(比方說)三角形車輪的情況,結果車子行駛時上下嚴重搖晃,非常不平穩云云。所謂平穩,乃指在行車時車身和平地距離保持一致,即 w = 常數(見下圖)。

諸君莫見笑,車,豈會如此簡單?平穩與否,起碼和懸掛系統有關。抱歉,我講數而已。

車輪圍繞固定車軸轉動,那麼要保持(所謂的)平穩,車輪必為圓形;但若沒有車軸,純粹好像原始人把重物放置在一排圓木上推動般,那麼除了圓形,還有沒有別的形狀,可以達至「w = 常數」的效果? (more…)

2009/08/06

[FW] 請用法理來說服我 ──為許志永老師給溫家寶總理的公開信

Filed under: Life,Report — johnmayhk @ 8:05 下午
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(明報)2009年8月6日 星期四 05:05

前言 張銳輝老師

今年4月,與中六級通識教育科的同學到北京考察交流,我們走訪了「公盟」,許志永博士與我們一行30名同學談了個多兩個小時。

學生知道了維權律師們正為「結石寶寶」、「黑磚」的受害者、川震豆腐渣工程遇難者家人、不少上訪者等等,進行法律訴訟;也知道公盟也教育社區市民法律知識從而參與社區內的管理工作。

公盟裏除了律師學者,更多的是比學生們大不了多少的大學生和年輕人。他們所做的,其實不過是個志願機構或是壓力團體的角色,可悲的是,在內地這卻成為了走鋼線、打擦邊球的活動。然而傾談間,許博士仍有信心地告訴同學,維權活動和民間社會未來的活動空間是樂觀的。想不到數月後,繼公盟被「抄家」之後許博士更身陷囹圄,於是,同學們的憤慨是必然的了。

請用法理來說服我──為許志永老師給溫家寶總理的公開信 鄭詠欣(香港中七學生)

溫總理:

斗膽用這個標題,因為我現在的心境,與龍應台教授執筆寫《請用文明來說服我──給胡錦濤先生的公開信》時有類似的感受;龍教授的文章,溫總理想必已經讀過了。我雖然只是一個高中學生,對國事的了解、對文字的掌控,當然不比龍教授,但仍希望能透過自己手上微弱的筆,表達對政府處理「公盟」及許志永先生的手法的不滿。

溫總理,提起你的名字時,人們都會說你是平民總理,辦事以民為本,站在人民利益那方。有些小朋友還會被你的親民作風所吸引,叫你一聲溫爺爺,視你為模仿的對象。

但是當我一想起你任內被捕、被禁、被整頓的媒體和異見人士,如劉曉波先生、程翔先生、《冰點》雜誌、《南方都市報》等等時,我卻又不得不質疑你作為純真善良小朋友學習對象的資格!難道我們國家的教育,是要教小朋友與其他人意見不合時就要對付對方,而非講求中國人千百年來堅持的仁義觀?

近日被政府盯中的是許志永先生和他所領導的「公盟」。公盟是由一群關注中國發展的律師及學者所組成的民間組織,他們透過學術研究就國家的法制改革提出一些意見和建議,推動國家實現民主法治。他們另一項為國人所熟知的工作,是為一些弱勢群眾如上訪者、被徵地者、毒奶粉案的受害者等等提供法律援助,幫助他們透過現有的司法制度去取得公義。單從近日稅局搜查後曾獲得幫助的民眾紛紛勇敢地到公盟辦事處聲援一事,任誰也看到「公盟」是站在人民那邊的!為何溫總理你所領導的政府仍要做出這件不合民情的事呢?

據我所知,「公盟」的工作是非牟利的,他們曾經想登記為民辦非企業單位,但遭到當局拒絕,被迫申請為有限公司。在國際社會,這種團體並不需交稅,而其捐獻者更能獲得免稅優惠。但由於公盟的成員是守法的律師,明知制度的不合理仍舊依規定納稅。在被稅局指控漏報稅項時,亦坦誠地承認錯誤。為何溫總理你所領導的政府仍要向他們徵收最高的罰款,並過分地在公盟辦事處以「搜證」為名而檢走所有維權資料呢?更令人感到無法理解的是,許志永先生突然在召開第二輪聽證會之前,遭公安與便衣從家中帶走,並扣留在看守所中,不能與家人及律師聯絡,同時更要公盟關閉其網頁,這實在是對公民基本權利的無理剝奪。

溫總理,你經常說要「依法執政」、「依法治國」,我想請問你一下,執法機關是根據哪一條法例去帶走許先生的?我對中國法律的認識十分膚淺,但仍知道憲法是國家的根本大法,具有最高的法律效力。在我國憲法的第35條列明,中華人民共和國公民有言論、結社的自由,第37條更清楚指出中華人民共和國公民的人身自由不受侵犯,禁止非法拘禁和以其他方法非法剝奪或者限制公民的人身自由。就我對上述條文的理解,我認為許先生現在應該可以自由地留在家或身處辦公室辦事的。

今年4月,我和其他同學到北京考察交流時,有幸在未被搜查的公盟辦事處與許先生談論中國政治。看見他願意無私地為中國在法治民主領域上努力,並對於中國的未來充滿了希望,令我深受感動。猶記得考察時,我們曾到過永定門內國務院信訪辦的門前,親眼目睹不少惡形惡相的截訪者和情可憐的上訪者。因此,在傾談中有同學便問了許先生一句「為何中央政府會容忍那些截訪者存在呢?」你知道許先生怎樣答嗎?他說上訪人數遠遠超過信訪部門所能承受,所以中央政府亦唯有容許截訪者存在,以免信訪部門的工作量極嚴重超標。在訪問中他多次提醒我們中國政府已很努力,要對政府有多點耐性。

許志永先生就是這樣的一個人!他充滿理想但不狂妄,他看到很遠的目標仍堅持穩重地一步一步走下去,他不怕只有一點一點微弱的力量在慢慢地付出,堅信中國終有一天能實現法治民主與自由。

溫總理,我真的十分不解為何你們的心如此的狠。為何要用這方法去對付這樣一個體諒政府、理性論政的學者呢?他所做的事只是在現有的遊戲規則下安分守己地為弱者去爭取憲法賦予的權利。他做的事情無一不是愛國為民!為何中央連這樣的一個人物也不能放過呢?為何不容許他和公盟透過公開公正的司法程序去處理這事呢?
溫總理,看你為四川地震災後工作努力、關心礦工工作環境之時,我總想叫你一聲「溫爺爺」的。但當看這麼多不合法不合理的事情在中國發生,我實在叫不出呀!但願有一天這樣的事情能夠圓滿解決並不再發生,我相信那一天海內外同胞才會由衷地振臂一呼「中國萬歲」的!


身體健康

香港中七學生
鄭詠欣 敬上

資料來源
http://hk.news.yahoo.com/article/090805/4/dk41.html

開任意次方法

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 6:31 下午
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《幾何與數理邏輯》湯璪真文集

記載了一篇介紹開任意次方的方法:

nth-root-1 (more…)

2009/08/03

無限 2

Filed under: University Mathematics — johnmayhk @ 10:16 下午
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雖然上次舊生提出:「數學壟斷了對無限的解釋!」但不得不承認,「無限」確是數學上經常要面對的課題,特別體現在數學分析(mathematical analysis)中,我們確實要透過數學界定無限。

(標準的)實數域 \mathbb{R} 中並不存在無限小,現代非標準分析創始人 A. Robinson 等利用超冪概念構作有序的非標準實數域,允許無窮小直接參加運算。

要構作非標準實數域,我們由過程量開始。 (more…)

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