Quod Erat Demonstrandum

2009/08/03

無限 2

Filed under: University Mathematics — johnmayhk @ 10:16 下午
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雖然上次舊生提出:「數學壟斷了對無限的解釋!」但不得不承認,「無限」確是數學上經常要面對的課題,特別體現在數學分析(mathematical analysis)中,我們確實要透過數學界定無限。

(標準的)實數域 \mathbb{R} 中並不存在無限小,現代非標準分析創始人 A. Robinson 等利用超冪概念構作有序的非標準實數域,允許無窮小直接參加運算。

要構作非標準實數域,我們由過程量開始。

設階梯函數

x(t) = x_n,(n \le t < n + 1; n = 0, 1, 2, \dots

\widetilde{x} = {x(t) | 0 \le t < +\infty}

\widetilde{x} 稱為過程量。

特別地,當 x(t) 趨零(或趨無窮),稱 \widetilde{x} 為趨零過程量(或趨無窮過程量)。當 x(t) = c 為常量,稱 \widetilde{x} 為常過程量,可記為 \widetilde{c}

不難定義過程量的四則運算:

\widetilde{x} \pm \widetilde{y} = {x(t) \pm y(t) | 0 \le t < +\infty},
\widetilde{x} \times \widetilde{y} = {x(t) \times y(t) | 0 \le t < +\infty},

至於除法,只要定義什麼是 \frac{1}{\widetilde{x}} 即可。

對非零 \widetilde{x},定義

y(t) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 ; x(t) = 0\\1/x(t) ; x(t) \ne 0\end{array}\right.

\widetilde{y} = \frac{1}{\widetilde{x}}

另一個重要概念是超濾集

\mathbb{N} = {0 , 1 , 2 , ... , n , ...}

數列 {x_n} 不過是冪集 \mathbb{R}^\mathbb{N} 的元素,故 \mathbb{R}^\mathbb{N} 的任一元素皆可確定一個過程量,理由不過是以下的一一對應關係:

\widetilde{x} \leftrightarrow x(t) \leftrightarrow {x_n} \in \mathbb{R}^\mathbb{N}

現定義濾集:

\mathbb{N} 上某子集類 \mathfrak{C} 具以下三個性質:

1^o \phi \notin \mathfrak{C}
2^o S_1 , S_2 \in \mathfrak{C} \Longrightarrow S_1\cap S_2 \in \mathfrak{C}
3^oS \in \mathfrak{C}S \subseteq T \subseteq \mathbb{N},則 T \in \mathfrak{C}

那麼,我們稱 \mathfrak{C}\mathbb{N} 上的一個濾集。

[SBA]
1. 證明 {S | S \subset \mathbb{N} : \mathbb{N} - S 是有限集} 是濾集。
2. 試構作另一個在 \mathbb{N} 上的濾集。

現在構作超濾集,徐教授認為這是一個難點,所以書中把這個構作過程重述一次。

若濾集 \mathcal{U} 具以下性質:

對每一子集 S \subseteq \mathbb{N},則 S \in \mathcal{U}(\mathbb{N} - S) \in \mathcal{U},且兩者必居其一,稱 \mathcal{U} 為超濾集。

這樣定義的所謂超濾集,存在嗎?

我們有以下定理:至少存在一個 \mathbb{N} 上的超濾集,以 \mathfrak{F} 為子集。

構造

\mathfrak{C} = {\mathbb{N} 上的濾集 \mathfrak{F}' | \mathfrak{F}' \supseteq \mathfrak{F}}

\mathfrak{C} 就是 \mathbb{N} 上所有包含 \mathfrak{F} 的濾集之集類(class)。

因 “\subseteq" 為偏序關係,且每一個上升鏈(按 “\subseteq" 逐步增大的濾集序列)都有上界,此上界為鏈中諸濾集的聯集,由 Zorn’s Lemma,知 \mathfrak{C} 中至少存在一個極大元 \mathcal{U}

無疑,\mathcal{U} 是濾集。現在驗證 \mathcal{U} 是超濾集。

驗證

利用反證法,設 \mathcal{U} 不是超濾集,則存在非空子集 S\subseteq \mathbb{N}) 滿足:

S \notin \mathcal{U} 以及 \mathbb{N} - S \notin \mathcal{U} – – – – – – – – – – – – (*)

欲由此推出矛盾(\mathcal{U} 非極大元,或 \mathcal{U} 非濾集),我們考慮 S \cap T

在條件 (*) 下,必有以下互斥情況:

(a) \forall T \in \mathcal{U}, S \cap T \neq \phi
(b) \exists T \in \mathcal{U}, S \cap T = \phi

如果出現情況 (a),我們可擴大 \mathcal{U} 成為更大濾集 \mathcal{U}'

\mathcal{U}' = {\mathbb{N} 的子集 X | X \supseteq S \cap T, T \in \mathcal{U}}

S \cap T \ne \phi,易知 \mathcal{U}' 滿足 1^o3^o

今設 X_1 \supseteq S \cap T_1, X_2 \supseteq S \cap T_2,則
X_1 \cap X_2 = S \cap (T_1 \cap T_2),即
\mathcal{U}' 滿足 2^o
(因 T_1, T_2 \in \mathcal{U} \Rightarrow T_1 \cap T_2 \in \mathcal{U}

\mathcal{U}' 是一個包含 S 與一切 T \in \mathcal{U} 的濾集。

那麼 \mathcal{U} \subseteq \mathcal{U}'

又因 S \notin \mathcal{U},故 \mathcal{U} \subsetneqq \mathcal{U}',這有違 \mathcal{U} 為極大元之性質。

如果出現情況 (b),在條件 (*) 下,情況 (b) 可轉化成

(b)’ \exists T' \in \mathcal{U}, (\mathbb{N} - S) \cap T' = \phi

何解?觀察條件 (*),S\mathbb{N} - S 「地位」上無異,不妨取 S' = \mathbb{N} - S(則 \mathbb{N} - S' = S);再把情況 (b) 中的 T 取代為 T',即情況 (b) 可改寫如下:

\exists T' \in \mathcal{U}, S' \cap T' = \phi

即是情況 (b)’。

於是,由 (b) 及 (b)’,知

T \subset \mathbb{N} - ST' \subset S

T \cap T' = \phi,這又有違濾集性質(i.e. 2^o)。

結論,\mathcal{U} 是超濾集。

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