Quod Erat Demonstrandum

2009/08/10

等闊曲線 1

Filed under: Fun,HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 9:32 下午
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以前看小學 ETV,其中有討論:為何車輪的形狀要是圓形?因為圓形車輪可使車輛行駛時平穩,為說明這事,ETV 中虛擬(比方說)三角形車輪的情況,結果車子行駛時上下嚴重搖晃,非常不平穩云云。所謂平穩,乃指在行車時車身和平地距離保持一致,即 w = 常數(見下圖)。

諸君莫見笑,車,豈會如此簡單?平穩與否,起碼和懸掛系統有關。抱歉,我講數而已。

車輪圍繞固定車軸轉動,那麼要保持(所謂的)平穩,車輪必為圓形;但若沒有車軸,純粹好像原始人把重物放置在一排圓木上推動般,那麼除了圓形,還有沒有別的形狀,可以達至「w = 常數」的效果?

20090808gif02

明顯,三角形(就算是等邊的)不可。

[SBA]
Q.1 設以等邊三角形為車輪,求 w(t)。(當然,請自行定義比如尺寸、角速和起始情況 w(0) 等等。)

那麼什麼形狀(除了圓形)可以呢?存在嗎?

存在,且有無限多。讓我們探究(explore)一下。

同學,先告訴你一個最簡單的例子:Reuleaux 三角形

其構作方法一目了然,見:

(圖片來源:mathworld)

想像一下虛擬情況:當一排全等的 Reuleaux 三角形在轉動,車底和平地之距離保持不變。

也看看下面真實的情況:留意後輪是 Reuleaux 三角形


(詳情參考文末的博客文章)

照片中還有一個類似五角形的車輪(果然係輪胎能!)。

好了,講數。以下談的是平面上的東西,不加注明。

為方便討論,我們先介紹支撑線(supporting line)。

設直線 L 和曲線 C 起碼有一個公共點 P,且整條 C 完全在 L 的某一邊,我們稱 LC 的一條支撑線,(注:這是極不嚴謹的定義,學者見諒)見下:

不難想像,閉曲線必有支撑線;且對任何方向,必僅有一對支撑線:

對車子來說,車底和平地便是所謂車輪的一對支撑線。回想原初問題:使行車時滿足「w = 常數」的形狀(閉曲線)稱為「等闊曲線」。等闊曲線也就是對任何方向的一對支撑線之距離也為常數。

Reuleaux 三角形是等闊曲線,繪上一對支撑線:

再加一對與之垂直的支撑線:

形成了一個(邊長為 w 的)正方形。我們可以想像:當 Reuleaux 三角形在正方形中轉動時,曲線和正方形邊任何時刻也有公共點。如何想像?嗯,比如我們固定了一個 Reuleaux 三角形,在任何方向,我們總能以支撑線繪出同樣邊長的正方形,那麼,我們想像正方形在轉動,便可「逆向地」想像到 Reuleaux 三角形在正方形內轉動的情況,姑且以「山不轉路轉,路不轉人轉」的道理牽強類比。

好了,我們定義了等闊曲線,也知道它們確實存在(注:可以定義一些數學東西,但不一定保證它們存在),我們便可以(比較有意義地)研究它們的共性。

首先,如何繪畫等闊曲線?這裡只介紹某類的等闊曲線:曲線多邊形(curvilinear polygon)(對不起,不知是否這樣翻譯)

除了 Reuleaux 三角形是曲線多邊形外,以下顯示了另一個:七角的曲線多邊形(curvilinear polygon with 7 corners):

參上圖,A,B,C,…,G 是曲線多邊形的角,各圓弧是以「對面」的角為圓心,以相同半徑(即 w)繪出,即 AD = DG = GC = CF = FB = BE = EA = w。同學想一想,上圖是怎樣構作出來?

先隨意定點 A,以 A 為圓心,w 為半徑,畫弧 DE,見下

自此,以下各步驟畫的圓弧,半徑皆為 w

現在,分別以 D 和 E 為圓心,畫弧 AG 及 AB,見下

接著,以 B 為圓心,畫弧 EF,見下

隨即,分別以 G 和 F 為圓心,分別繪兩弧交於 C,見下

最後,以 C 為圓心,畫弧 FG;以 G 為圓心,畫弧 CD;並以 F 為圓心,畫弧 BC,見下:

[SBA]
Q.2 試繪畫 5 角,9 角曲線多邊形。
Q.3 可否畫出 4 角曲線多邊形?為何?

Q.3 的答案是否定的。用上法繪畫的曲線多邊形,其角的數目必為奇數。為何?留待下次和其他關於等闊曲線的特性一起探究了。

延伸閱讀:
《不要以為三角形和五邊形就不是輪子》(博客文章)
http://sr.ju690.com/meme/item/29031

3 則迴響 »

  1. 真係的純支持, 睇唔懂

    迴響 由 FTL — 2009/08/11 @ 12:46 上午 | 回覆

  2. […] Filed under: HKCEE, mathematics — johnmayhk @ 12:28 pm Tags: idea of setting question, sba 上回介紹了其中一類等闊曲線:curvilinear […]

    通告 由 等闊曲線 2 « Quod Erat Demonstrandum — 2009/08/23 @ 12:28 下午 | 回覆

  3. […] 上次談非圓車輪,如今看片: […]

    通告 由 方車輪 « Quod Erat Demonstrandum — 2010/12/22 @ 9:12 上午 | 回覆


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