Quod Erat Demonstrandum

2009/08/23

等闊曲線 2

Filed under: HKCEE,mathematics — johnmayhk @ 12:28 下午
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上回介紹了其中一類等闊曲線:curvilinear polygon(曲線多邊形)的構作方法。依循該作法而得的曲線多邊形,其角(corner)的數目必為奇數,為何?以下圖顯示的七角曲線多邊形為例:

可以看到,

「每一個角對面對應著一個圓弧;同樣,每一個圓弧對面也對應著一個角」 – – – – – – (*)

任意由一個角出發,比方說,由角 A 出發,逆時針地,一個角一個角算數(即上圖中的 B,C,…),到最接近角 A 對面圓弧的角(即 D)。假如共數算了 n 個角(此例,n = 3),那麼,數算過程經過的圓弧(即 AB, BC 和 CD)也有 n 條。如果由角 A 出發,順時針地,一個角一個角算數,也必可數算出 n 個角(此例,順時針數算出的角順序如下:G, F, E),為何?因為逆時針地數算了 n 條圓弧,由 (*),n 條圓弧對面便對應著 n 個角,亦即順時針地必可數算出 n 個角。於是,包括角 A 在內,曲線多邊形共有 2n + 1 個角,奇數也。

只要把一個曲線多邊形略略加工,我們可以得出另一類等闊曲線。以五角曲線多邊形為例:

以各角為圓心,以相同半徑(比方說 r)繪出(五條)圓弧:

延長對角線(注:對角線長度為 w),使它們與剛畫的圓弧相交,見下:

現在,以原先曲線多邊形的角為圓心,半徑為 r + w 繪畫圓弧,把對面的交點結連,見下:

把作圖線移走,得出「靚仔」的完成圖:

注意,這個等闊曲線不似之前的曲線多邊形,它是沒有「尖角」,看起來更像輪胎吧。

[SBA] 同學,試由一個七角曲線多邊形開始,依循上法,構作一個新的等闊曲線。

上述只介紹了一類由圓弧組成的等闊曲線,聞說有一類等闊曲線,它沒有一個部分是圓弧(高手見諒,我到此刻也未能舉例)。

等闊曲線有不少有趣的幾何特性,比如 Barbier’s Theorem(見 wikipedia 的介紹),就是說,對於所有等闊曲線,無論什麼形狀也好,如果闊度相同(比如都是 w),則它們的周界也必相同。

Barbier’s Theorem 的嚴格證明,相信已超越中學數學範圍;但中學的同學也可嘗試以特例:曲線多邊形,來驗證一下。

[SBA]
1. 設以下五角等闊曲線多邊形的闊為 w(即對角線長度為 w),

證明其周界為 w\pi

2. 設以下七角等闊曲線多邊形的闊為 w,求其周界。

3. 對於闊度為 w 的等闊曲線多邊形,試證明它們的周界皆為 w\pi

等闊曲線尚有很多有趣特性,希望有機會再談。

參考書目:
THE ENJOYMENT OF MATHEMATICS – Selections from Mathematics for the Amateur (Hans Rademacher, Otto Toeplitz)

2 則迴響 »

  1. 這是數學理論嗎?

    《我通我識》節目主持
    http://lslu.wordpress.com/

    迴響 由 lslu — 2009/08/26 @ 4:12 下午 | 回覆

  2. lslu 君:

    或許說,這是和數學有關的討論,或曰:數學通識科的課題。

    P.S. 已往貴網投票。

    迴響 由 johnmayhk — 2009/08/26 @ 6:55 下午 | 回覆


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