Quod Erat Demonstrandum

2009/09/01

i 是開方負 1?

Filed under: mathematics,NSS — johnmayhk @ 11:58 下午
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新高中數學教科書出現了

i = \sqrt{-1}

這個命題。

接著是一些例題:\sqrt{-8} = \sqrt{8} \times \sqrt{-1} = \sqrt{8}i

暗暗地在 teaching note 出現了以下句子:

\sqrt{-1} = \sqrt{1} \times \sqrt{-1} = i
but
\sqrt{1} \ne \sqrt{-1} \times \sqrt{-1}

時而可以,時而不可;同學,你感到有點問題嗎?

我想說

i 不是被定義為 \sqrt{-1}

i一個確定的複數,在阿根平面所謂 (0,1) 這個位置,滿足 x^2 = -1 這個等式。

\sqrt{-1} 其實是 x^2 = -1 的解,

x^2 = -1 的解,除了 i,還有 -i(再沒有其他,why?)

以集合符號表之曰

\sqrt{-1} = {i , -i}

以集合的觀點,無論 a, b 是正數或非正數,皆有

\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}

比如

\sqrt{-1}\sqrt{-1} 是什麼?

是兩個集合相乘。

即 {i, -i} \times {i, -i}。產生出一個新的集,元素分別由兩個集合取出的元素相乘而得。

亦即 {i \times i, i \times (-i), (-i) \times i , (-i) \times (-i)} = {1 , -1}

另外

\sqrt{1} = {1 , -1} 因為 \sqrt{1} 代表著 x^2 = 1 的解,即 {1 , -1}。

換言之,

\sqrt{1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1}

另外,\sqrt{-4} 不是等於 2i,而是

\sqrt{-4} = \sqrt{4}\sqrt{-1} = {2 , -2} \times {i , -i} = {2i , -2i}

詳情可參考濟濟一堂的舊文
http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=1217334&t=1217334

39 則迴響 »

  1. Are you sure that i = sqrt ( -1 ) only or sqrt ( -1 ) = {i, -i}?
    Or shall we only have i = (0, 1) (in R x R )?

    迴響 由 nekki — 2009/09/02 @ 6:30 上午 | 回覆

    • Thank you nekki,

      1. i is NOT sqrt(-1)
      2. sqrt(-1) is a SET of numbers {i , -i}
      3. it seems that i = (0,1) is not a proper notation

      Further,

      1.

      – We write i^2 = -1. Fine.
      – i is a definite number, sqrt(-1) is NOT a number, it is a SET!

      2.

      For positive number a, we TAKE sqrt(a) as a POSITIVE number.
      BUT, this is NOT a reason to TAKE sqrt(-1) as i.
      Notice that i is NOT a positive number!
      i is NOT greater than zero!
      For a complex nunber, we CANNOT say whether it is POSITIVE or not.
      Is (2 – 3i) a ‘POSITIVE’ complex number?
      Cannot tell!

      3.

      i is NOT equal to (0,1)
      i can be represented by the point (0,1) on R^2
      i can be represented by the matrix (0 -1 | 1 0)
      i = e^(i\pi/2)
      ……

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/02 @ 2:23 下午 | 回覆

  2. 多謝John Sir的講解,感恩在教這個課題前看到這篇文章。我今年將會教新高中的數學,為著備課也花了較長的時間。

    但對於由中三升上中四的同學,引入「集合」的看法會否太深?

    再者,以往教科書已經將sqrt(4)=2,而4的平方根=2, -2,現在再導入sqrt(-1)=i, -i,好像有點混亂。有甚麼建議去厘清呢?

    迴響 由 Kam — 2009/09/02 @ 11:41 下午 | 回覆

    • Kam Sir,感謝你的回應!

      我也希望和同事集體備課,看看應該如何教。

      上一個香港中學普通數學課程沒有涉及複數,

      \sqrt{a} = 正數(其中 a 是正數)沒有問題,

      起碼符合 \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}

      若取 \sqrt{a} = 負數,就破壞上述關係。

      但新高中數學課程涉及複數,

      我期望把學理上的問題交代好,

      但,數學和數學教育有異,

      正如 Kam Sir 說:學生或感混亂

      且教師一般做法:教科書如何寫就如何教

      因為

      1. 教科書是已經教育當局審閱;
      2. 教師一向也是如此教:i = \sqrt{-1}
      3. 我上面寫的不一定被認同。

      如果掌控生死的考評局擬出以下題目:

      Simplify \sqrt{-9}.

      而答案是 3i 的話,我一定「發炮」。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/03 @ 8:49 上午 | 回覆

  3. 今天上了第一課complex analysis, 看到教授也是寫i = sprt(-1)….

    迴響 由 Justin — 2009/09/04 @ 11:44 下午 | 回覆

    • 和 Nelson Sir 談過這個問題,我們也感到困難。似乎什麼也不提,完全跟教科書是最「合理」的做法…

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/05 @ 11:48 下午 | 回覆

  4. 上面的漫畫可以在哪裡找到?

    《我通我識》節目主持
    http://lslu.wordpress.com/

    迴響 由 lslu — 2009/09/05 @ 12:22 下午 | 回覆

    • 偶然找到,在 google 輸入 math+comics 之類吧,忘了。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/05 @ 11:49 下午 | 回覆

  5. √-1=i
    -1的平方根是i,-i
    這些是我學過的定義。
    如果你找出另一套不同的定義,我的疑問是:數學的定義到底誰說了算?

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/06 @ 9:15 下午 | 回覆

    • Thank you yee3816547290 for your reply!

      1.
      \sqrt{-1}-1 的平方根,
      -1 的平方根有 {i, -i},
      \sqrt{-1} 是 {i, -i}。

      2.
      若取只 \sqrt{-1} = i
      問題一:應用 \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} 時不協調,
      \sqrt{1} \ne \sqrt{-1}\sqrt{-1}
      問題二:取值準則不清,
      \sqrt{-1} = i 的準則是什麼?
      比如,可否以相同準則為 \sqrt{-2i} 取值?
      \sqrt{-2i} 究竟是 1 - i 還是 -1 + i
      又或,可否以相同準則為 \sqrt[3]{i} 取值?

      3.
      教科書著同學解
      x^2 - x + 1 = 0
      運用公式,得
      x = \frac{1 \pm \sqrt{-5}}{2}
      我們知道,解其實是
      x = \frac{1 \pm \sqrt{5}i}{2}(這裡,取 \sqrt{5} 為正數)
      但這不一定代表
      \sqrt{-5} = \sqrt{5}i

      4.
      不過,用集合代表 \sqrt{-1} 是很麻煩。
      i + i = 2i,意義明確。

      \sqrt{-1} + \sqrt{-1} 視為所謂集合加法,似乎出現問題。
      起碼,不是所有人認同 2\sqrt{-1} 的意義。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/07 @ 10:22 上午 | 回覆

  6. 你認為√1=1還是{1,-1}?

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/07 @ 12:30 下午 | 回覆

    • 如上文,

      \sqrt{1} 代表 x^2 = 1 的解,

      那麼

      \sqrt{1} ={1 , -1}

      已往沒有考慮複數,我們取

      \sqrt{1} = 1

      1 的正平方根;

      而不接受

      \sqrt{1} = -1

      因為,如果取 \sqrt{1} = -1

      便破壞以下關係

      \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}

      如果我們統一 \sqrt{a} 這個符號的意義(推廣到複域),即 x^2 = a 的解,

      我們就必須承認 \sqrt{a} (或更一般 \sqrt[n]{a})是多值的。

      如果不承認這點,

      就出現一些不協調的運算,諸如

      1 = \sqrt[6]{1} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[3]{-1} = -1

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/07 @ 3:48 下午 | 回覆

  7. 取√1=1而忽略-1並非沒有考慮複數,而是沒有考慮負數。
    而取√-1=i而忽略-i,是不考慮虚部為負的純虚數。
    你所執著的定義,在複變函數裡正是這樣定義。
    你是把根號、平方根、二分之一次方都看成一樣的定義才會如此。
    但一般而言,為了方便,在不同的領域有其不同的定義。
    你的堅持究竟有何意義?

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/07 @ 8:14 下午 | 回覆

    • 1.「取√-1=i而忽略-i,是不考慮虚部為負的純虚數。」

      這句話,並沒有解釋為何要取 \sqrt{-1} = i

      前文多番指出,

      \sqrt{-1} = i 是有問題,

      起碼會破壞 \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}

      2.「取√-1=i而忽略-i,是不考慮虚部為負的純虚數。」

      這句話,似乎提出了一個取值的標準:不考慮虚部為負

      那麼,\sqrt{-2i} 是什麼?根據上述標準,是否代表

      \sqrt{-2i} = -1 + i

      對嗎?問題是,當再乘以(比方說)\sqrt{-2}

      根據上述標準,即 \sqrt{-2} = \sqrt{2}i,那麼

      \sqrt{-2i}\sqrt{-2} = (-1 + i)\sqrt{2}i

      \sqrt{4i} = -\sqrt{2} -\sqrt{2}i

      看,右邊的虛部是負了。

      更進一步,不難想像:

      存在複數 z_0,使 z^3 = z_0 含兩個虛部為正的解,

      那麼

      \sqrt[3]{z_0} 應取哪一個?

      3. 起初,我確實認為 \sqrt{a}a^{\frac{1}{2}} 是有分別。(參看我內文的結連)

      其分別是

      a^{\frac{1}{2}} 是多值的;\sqrt{a} 是單值的。

      一般中學教科書都會寫

      a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

      蕭教授的文章似乎提出了

      \sqrt{a} 也都是多值的。」

      如是這,\sqrt{a}a^{\frac{1}{2}} 沒有分別。

      否認 \sqrt[3]{-8} 是三個不同的值,強行取

      -2 = \sqrt[3]{-8}-2 = (-8)^{\frac{1}{3}} 便出現不協調的運算:

      -2 = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{2\times \frac{1}{6}} = 64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2

      這種不協調現象,就是強行取

      -2 = \sqrt[3]{-8} 和/或 (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2 的結果。

      4. 我說:若不考慮複數,便取 \sqrt{1} = 1,其實是說,若不以複變函數考慮,即不以 \sqrt{} 為多值函數的情況下。

      5. 如果 yee3816547290 君即是之前堅持 0^0 = 1 的那位 yee,希望你亦「同情地理解」我為何要「堅持」「統一定義」的重要。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/07 @ 10:26 下午 | 回覆

  8. 在實變函數的指數函數裡,值域是實數,這樣定義有其必要性。
    在自然界也有許多現象,是以指數函數表達的。
    如果照你所說,一定要考慮複數,許多現象考慮層次太複雜,無法表達。
    所以就直接強行選取。
    到複變函數這種領域再去考慮多值函數的問題。
    至於破壞√(ab)= √a √b的問題,習慣就好了,你覺得沒問題就沒問題了。
    至於複數開根號該選取哪一個?定義清楚就好了,也不是問題。
    0^0有定義為1的原因,卻沒有不定義的原因,如果0!一樣。
    難道你覺得0!該有不同定義嗎?

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/08 @ 2:25 下午 | 回覆

  9. 根號與次方有維持不同定義之需要,但0^0沒有。
    即使在討論複變函數時,也是把根號當作單值函數的。
    你堅持把這些都定義為同樣的多值函數,在討論上是有困難的。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/08 @ 2:29 下午 | 回覆

  10. 對於一個複數a+bi,它的大小(magnitude)是√(a^2+b^2)
    如果根號也定為多值函數,它就有正負兩個大小(或者兩個0)。
    所以這時,還是一樣要強行選取非負值。
    與其如此,不如一開始就把根號定為單值函數。
    因此即使在複變函數裡,根號仍然有必要定為單值函數。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/08 @ 5:52 下午 | 回覆

  11. 1. 「…如果…考慮複數,許多(自然界的)現象考慮層次太複雜,無法表達。」(見 comment 8)

    我不懂回應,仍在思考「無法」表達的真義。

    以數學模型解釋自然現象和研究純數學或許是不同的。

    就教科書的文本,毫無(起碼)物理上的內容,只能作純數學的討論。

    若作純數學的討論,\sqrt{} 是什麼,一定要弄清楚。

    2. 「複數a+bi…的大小是√(a^2+b^2)」(見 comment 10)

    正本清源,a + bi 的大小是非負數 c,滿足 c^2 = a^2 + b^2
    故不能因為複數大小是非負而認為 \sqrt{a^2 + b^2} 非負。

    3.「…破壞 √(ab)= √a √b…習慣就好了,你覺得沒問題就沒問題了。」(見 comment 8)

    為何我要提出這個問題?就是教科書稱:

    \sqrt{-4} = \sqrt{4}\sqrt{-1}\sqrt{4} \ne \sqrt{-4}\sqrt{-1}

    如何向學生解釋當中的分別?習慣它?

    要處理這個老問題,起碼有 (a),(b) 及 (c) 三個做法:

    (a) 不向學生揭露這「問題」,無視它。
    (b) 著學生遵守規定,已往做法如下:

    (b1) 規定只要在 「a , b 都非負」時,才可應用 \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}
    (b2) 規定只要在 「a , b 起碼存在一個非負數」時,才可應用 \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}。(教科書的做法)

    補充:根據 (b2) 規定「a , b 起碼存在一個非負數」,也不能保證 \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} 運算不出現問題,比如

    \sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}
    \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}
    \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{1}\sqrt{1}
    i^2 = 1
    -1 = 1

    那麼,為了「統一」做法,我們是否只規定 (b1)?

    (c) 承認 \sqrt{a} 是多值的,任何情況皆可應用 \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}

    同工、學者有何高見?

    4. 「至於複數開根號該選取哪一個?定義清楚就好了,也不是問題。」(見 comment 8)

    對確定的 z_1, z_2, z_3,進行四則運算沒有問題。

    但當 \sqrt{z_1}, \sqrt[3]{z_2}, \sqrt[5]{z_3} 是有待確定的量(諸如在解方程途中),

    如何「清楚定義」它們,以致確保在運算過程,比如計算 \frac{\sqrt{z_1}\sqrt[3]{z_2}}{\sqrt[5]{z_3}} 時「沒有問題」?

    5. 「把這些都定義為同樣的多值函數,在討論上是有困難的」(見 comment 9)

    是,我感到困難。或許只是在解釋有關「無聊」的「不協調運算」時,才視之為多值。當進行其他「有意義」的運算時,才強行取單值。

    迴響 由 johnmayhk — 2009/09/09 @ 5:42 下午 | 回覆

  12. 一、
    對於一個複數a+bi
    請問你要如何表示它的大小?
    開完根號後再強行選取非負值?
    這樣寫起來不是很麻煩嗎?
    所以直接把強行選取非負值的動作放在根號的定義裡。

    二、
    數學本來就有很多講究,就是直接教這些規定。
    以前也是一直這樣教、這樣學,都沒有問題。

    三、
    你所提的不協調的問題,到複變函數再去解決吧。
    這個問題本來就是難以解決的,所以在不同領域有維持不同定義的必要。
    如果你只著眼於某一部分的問題要解決,也會產生別的問題。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/09 @ 7:14 下午 | 回覆

    • 1. 「對於一個複數a+bi請問你要如何表示它的大小?開完根號後再強行選取非負值?這樣寫起來不是很麻煩嗎?」

      我建議:|z| = +\sqrt{a^2 + b^2}

      不太麻煩吧?

      2.(i) 「數學本來就有很多講究,就是直接教這些規定。」

      請問你會規定 (b1) 還是 (b2)?(見 comment 11 第 3 點)

      2. (ii) 「以前也是一直這樣教、這樣學,都沒有問題。」

      以前有沒有學生向你發問有關

      \sqrt{-1} = (-1)^{\frac{2}{4}} = ((-1)^2)^{\frac{1}{4}} = 1^{\frac{1}{4}} = 1

      諸如此類的問題?無論有或沒有,你會如何解答?

      似乎你不會答「習慣就好了,你覺得沒問題就沒問題了。」吧?
      你會答:「到複變函數再去解決吧。」嗎?

      就上式,如果不以「強行取值」為問題之根源,勢必再加插一些運算的規定。學生心中,又不知會否泛起「以前也是一直這樣學,都沒有問題。為何現在偏偏出現問題?」這個疑問?

      3. 「如果你只著眼於某一部分的問題要解決,也會產生別的問題。」

      肯定再沒有兩全其美的方案嗎?我不知道。

      ==============

      實在,所謂「不協調的運算」絕非什麼新鮮事,相信有很多東西已經蓋棺論定,只是在下學養所限,無法就議題提出有力的證據或反證。但,偶爾拿來討論一下相信也有一丁點的價值吧。

      這個問題,我在多年前和別校的同工討論過(是他發問的),他不認同我的說法(我感覺自己好像說歪理),但事實上,那些說法不是「我的」,歷史早已有之。寫到這裡,讓我想到貝克萊悖論(當然,所謂「不協調運算」絕不可和「無窮小量」問題相比),現在微積分發展成熟,一切已經蓋棺論定;但在「分析學的世紀」之初,相信有不少有關無窮小量的爭論,當中或許有很多有趣的辯論,值得研究的。如果在博客的討論導致一些結論,特別是兩全其美的教學方案,或許也是一件美事吧?

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/09 @ 9:55 下午 | 回覆

  13. 你建議|z|=+√(a^2+b^2)
    你這樣寫時,已經把根號定為單值函數,強行選取非負值了。
    至於√-1=1的矛盾,要到複變才能解釋。
    我想不出兩全其美的方案,也沒有看到兩全其美的方案。
    你提出來的方案,更不是兩全其美的。

    另外提一下我個人的觀點,看你能領會多少吧。
    先不考慮現有的定義。
    若要討論虚數,先考慮x^2=-1的解。
    x^2=-1有兩個解,這兩個解的和為0,而且不相等,所以互為相反數。
    把根號定為單值函數。
    要定義√-1時,選取其中一個記為i(或任何其它符號),另一個自然就是-i了。
    就好比質子與電子,電量相等電性相反,把其中一個定為正電,另一個就是負電了。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/09 @ 10:47 下午 | 回覆

  14. 「數學本來就有很多講究,就是直接教這些規定。

    以前也是一直這樣教、這樣學,都沒有問題。」

    其實這也是個問題,要看老師想教的是 數學課程 還是 數學。 可能我也是一個數學喜好者,故我也好希望教學生數學。

    今天在數學界沒人在想/想到的問題,不代表沒有 “想" 的必要/價值,引起了討論才會有更大的進步。

    最近 有些大學同學(在另一個課堂上重遇)說 上個學期遇到一個 professor,當他們問prof. 問題時,得到的回答是: 『別執著在這問題』,當然同學們不會收貨,回 prof. 一句:『我們只有這一點不明白,當然要問』…… 結果是如何? 見慣不怪了…..

    個人做法:
    這個課題可算是 “被迫" 先 不用 集 的看法, 但也可向學生(特別是以後會學 集 的 M1, M2 學生) 來一個 Extended Thinking。可能是我不夠腦力,想不了更好的方法,在『協調下』只好先 引起一下 討論/思考。

    多一點人討論真好

    迴響 由 Nelson Fung — 2009/09/10 @ 11:19 上午 | 回覆

  15. 就虛數(特別是 i-i)這個議題,英文版維基的解釋:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit

    較中文版(簡體字)

    http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9B%E6%95%B8%E5%96%AE%E4%BD%8D

    豐富。為何中文版沒有了抽象代數那部分?

    在「正當的使用」的條目下,建議不使用 \sqrt{-7},而是直接寫 \sqrt{7}i

    昨天,和科主任及同工討論了教學方案(花了差不多兩小時),讓我空閒一點和大家分享一下。

    yee3816547290 提出「不協調的問題,到複變函數再去解決吧」(見 comment 12),如果你有時間,為我們介紹一下諸如解析分支並具體解決所謂「不協調的問題」,那將會是一眾學生之福。

    P.S. Thank you Nelson Fung! Feel free to share your ideas if you want to!!

    迴響 由 johnmayhk — 2009/09/11 @ 3:05 下午 | 回覆

  16. 我是來學習的

    迴響 由 Nelson Fung — 2009/09/11 @ 10:48 下午 | 回覆

  17. 在複變裡,就是像你前面所堅持的,把它定為多值函數。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/11 @ 11:12 下午 | 回覆

  18. $z^x = exp(x(Log|z| + iArg(z)+i2n\pi ))$

    Log, Arg are as usual, but the integer $n$ can lead to multiple values.

    In order to do actual computations, we need a well defined function(i.e. a single-valued function). To achieve this, people fix a branch to obtain a single-valued function first and then do the computations. It’s quite natural to choose the Principal Branch, i.e. $\theta\in(-\pi, \pi]$

    Thus, in this setting, we have
    $\sqrt{-1} = exp(\frac{1}{2}(Log|-1|+iArg(-1)))$\\
    $=i$

    I think that they have already chosen the Principal Branch and hence they write $\sqrt{-1}= i.$ It shouldn’t be conisdered wrong in this context.

    Also, in this sense, we have
    $\sqrt{-4}=exp(\frac{1}{2}(Log|-4|+iArg(-4)))$\\
    $=exp(\frac{1}{2}Log|4|+i\frac{\pi}{2})$\\
    $=2i$

    迴響 由 kat — 2009/10/05 @ 11:46 上午 | 回覆

    • Thank you kat.

      Just an old question, my I right in saying that no matter which branch we are choosing, it is wrong to write

      \sqrt{1} = \sqrt{-1}\sqrt{-1}“?

      迴響 由 johnmayhk — 2009/10/06 @ 6:03 下午 | 回覆

  19. 是哪本教科書?

    NSS 講複數只是點到即止,即使 M2 也沒有涉獵。

    迴響 由 Nick — 2009/10/17 @ 7:04 下午 | 回覆

    • Hi Nick!

      是中大出版社的。不錯,就是點到即止,似乎和整個課程顯得「格格不入」。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/10/17 @ 8:19 下午 | 回覆

      • 不清楚你看的是哪年的版本。今年出版的中大那套書不是把 i 定義為 sqrt(-1),有提及
        x^2=-1 的解是 i 或 -i。也有講 i^2+4=0 的解是 2i 或 -2i。另外,中大講複數﹝a+bi﹞時是用 i^2=-1。

        反而,牛津和朗文兩套書,不論是講 i 還是講複數﹝a+bi﹞時,都是用 i=sqrt(-1)。
        http://mrnick.sinaman.com/0complex.htm

        此點,牛津和朗文稍遜。

        迴響 由 Nick — 2009/10/19 @ 9:03 下午

  20. Nick,感謝你提供的資料。我校用的是 2009 fist edition。

    書中顯示:
    ……………………………………………………………………………………..
    To ensure the equation x^2 = -1 has solutions in certain form, i.e.

    x = \pm \sqrt{-1}, mathematician introduces an imaginary unit i and define it as

    i = \sqrt{-1} or i^2 = -1
    ……………………………………………………………………………………..

    但似乎,歷史上引入 i,不是為了使 x^2 = -1 有解。

    在 Teaching Note 記

    …Euler mentioned WRONGLY that \sqrt{-2}\sqrt{-3} = \sqrt{6}

    應記載於他在 1770 出版的 Algebra 一書。(refer to the book “An Imaginary Tale The Story of \sqrt{-1}" P.12)

    迴響 由 johnmayhk — 2009/10/20 @ 12:50 下午 | 回覆

    • 我想這太複雜了,或許我們可以簡單地想.
      -1=(-1)^{2/2}=((-1)^2)^{1/2}=1^{1/2}=1
      明顯地這是錯誤的,每當我們二次某數時,都會出現一倍數目的解,問題在於二次,與虛數無關.

      sqrt{-1}的問題正如 x=arcsin(0) 有無限個解一樣 x={…,-3pi,-2pi,-pi,0,pi,2pi,3pi,…}
      x=sqrt{-1} 亦有無限個解: x={…-7i,-5i,-3i,-i,i,3i,5i,7i,…}
      我們要向學生解釋嗎?還是看學生的能力吧!

      至於 sqrt{a}sqrt{b}=sqrt{ab} 可以用於負數或虛數嗎 ?!

      迴響 由 harrylai — 2010/01/19 @ 1:28 上午 | 回覆

  21. >時而可以,時而不可;同學,你感到有點問題嗎?
    完全同感…

    請問可不可這樣理解?
    如果一開始是 ?=sqrt(-1)
    ?當然=sqrt(-1)=i
    如果一開始是?^2=-1
    ?=sqrt(-1) or -sqrt(-1)=i or -i
    所以i是為了代一個數而設, sqrt(-1)的解要視乎一開始有沒有?^2=-1的condition?
    而sqrt(-1)不能一概而論=i?

    其實虛數很難用正常數學的角度理解/定義…XD

    不知有沒有理解錯…謝謝

    迴響 由 2000032 — 2010/10/28 @ 6:53 下午 | 回覆

    • x^2=-1有兩個解。
      這兩個解互為相反數。
      當其中一個被定為i時,另一個自動被定為-i。
      至於哪個會被定為i並不失一般性。

      迴響 由 Yee — 2010/11/08 @ 6:48 下午 | 回覆

  22. 有個問題不太明白。
    如果sqrt(-1)*sqrt(-1)={1,-1}
    豈不是說sqrt(-1)是x^2=1的根?

    迴響 由 taxiing — 2011/05/24 @ 11:04 下午 | 回覆

    • 謝謝留言。

      一.

      首先,數字(number)和數字集(set of number)不同。

      x^2=1 的根是數字 1 和 -1。
      x^2 =1 的解集(solution set)是 {1,-1}。

      {1,-1} 是集,不是數字,即 {1,-1} 不是 x^2=1 的根。

      可見,因為 \sqrt{-1} 是集 {i,-i},肯定不是 x^2=1 的根。

      二.

      \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{1}

      指的是集 \sqrt{-1}\sqrt{-1} 和集 \sqrt{1} 相等。

      \sqrt{1} 是集 {1,-1},不是 1。

      \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{1},得

      \sqrt{-1} 這個集,滿足以下涉及集的等式

      A\times A={1,-1} 而已,(其中 A 是集。)

      應該不能推出「\sqrt{-1}x^2=1 的根」這個結論。

      三.

      我得承認,為保持

      \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}

      而視上面等式是「集合的相等」,在實際應用上是很麻煩的。

      迴響 由 johnmayhk — 2011/05/25 @ 11:22 上午 | 回覆

  23. 根號與1/2次方略有不同。
    1/2次方在複變裡可以用集合來討論。
    但根號的定義包含了選取在內。
    沒有必非要滿足√a√b=√(ab)不可。

    迴響 由 Yee — 2011/05/25 @ 12:19 下午 | 回覆

    • 你認同以下寫法嗎?

      (-1)^\frac{1}{2}(-1)^\frac{1}{2}=(1)^\frac{1}{2}

      迴響 由 johnmayhk — 2011/05/25 @ 12:30 下午 | 回覆

      • 在複變裡,以集合來對應,是可以贊成的。

        迴響 由 Yee — 2011/05/25 @ 2:35 下午


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