Quod Erat Demonstrandum

2009/09/05

會議補充二則

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,University Mathematics — johnmayhk @ 11:32 下午
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1.
校內的數學科會議,談到 extended reading/learning,我隨便舉例,讓同事略略看片:

但我只輕鬆帶過,大家用懷疑的眼光問:「怎會可能?」嗯,我也不知道,早前因為想找有關 tensor 的東西,翻一翻幾年前買下的數學書:

“Introduction to Topological Manifolds" by John M. Lee

或許可以作為課外閱讀吧:



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2.
在中五數學科級會,談備課堂。同事建議以「軌跡」作為材料,另一名同事提出一個經典軌跡問題:

A, B, C, D start moving at four vertices of a square in a way that A moves toward B, B moves towards C, C moves toward D and D moves toward A always at uniform speed. Determine the locus of A.

給中五的同學做,似乎難了一點,因為其中一個解法是要運用微分方程:

參考上圖。

A 處於 (x,y),則 B 處於 (y,-x)。

A 的軌跡。

由題目設定,因 A 每刻向 B 走,故此,在 A 點處的切線必經 B 點,即

\frac{dy}{dx} = \frac{y - (-x)}{x - y} = \frac{x + y}{x - y}
y|_{x = a} = a

u = \frac{y}{x},得

\frac{1 - u}{1 + u^2}du = \frac{dx}{x}

解之,得:

\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = C + \ln{\sqrt{x^2 + y^2}}

由條件 y|_{x = a} = a,得

\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\ln{\frac{x^2 + y^2}{2a^2}}

同學,試用繪圖軟件把上述軌跡畫出來。

2 則迴響 »

  1. Introduction to Topological Manifold這本書是屬於數普書藉嗎?
    現在上分析課也開始接觸topology了。

    迴響 由 Justin — 2009/09/08 @ 12:25 上午 | 回覆

    • Justin,

      那本書的頭一篇,即我貼在文中的十數頁或許可算是「數普」吧。你可以學習 topology(是 point-set topology 嗎?),幸福呀,好好學習吧;有什麼有趣的東西,歡迎在此分享分享。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/08 @ 8:39 上午 | 回覆


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