Quod Erat Demonstrandum

2009/09/14

類似地?

小心,對一些運算法則,我們定要正本清源,不能單以一句「類似地」便隨便進行「類似」運算。

e.g. 1 循環小數

0.3 \times 0.4 = 0.12 正確,但不是「類似地」得到:

0.\dot 3 \times 0.\dot 4 = 0.\dot 1\dot 2(錯!)

事實上,

0.\dot 3 \times 0.\dot 4 = \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{27} = 0.\dot 14 \dot 8

e.g. 2 二階導數

\frac{dx}{dy} = 1/(\frac{dy}{dx}) 正確(設考慮的導數有定義),但不是「類似地」得到:

\frac{d^2x}{dy^2} = 1/(\frac{d^2y}{dx^2})(錯!)

那麼,\frac{d^2x}{dy^2}\frac{d^2y}{dx^2} 有何關係?見下:

\frac{d^2x}{dy^2}
= \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})
= \frac{d}{dy}(\frac{dy}{dx})^{-1}
= \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})^{-1}\frac{dx}{dy}
= -(\frac{dy}{dx})^{-2}\frac{d^2y}{dx^2}(\frac{dy}{dx})^{-1}
= -(\frac{dy}{dx})^{-3}\frac{d^2y}{dx^2}

e.g. 3 期望值

f(x) 是連續隨機變量 X 的概率密度函數(p.d.f.),那麼 X 的期望值是

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx

但不是「類似地」得到:

E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x^2)d(x^2)(錯!)

事實上,

E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx 而已。

相信還有不少例子,歡迎分享!

17 則迴響 »

  1. 這些是中幾的數學?

    《我通我識》節目主持
    http://lslu.wordpress.com/

    迴響 由 lslu — 2009/09/15 @ 12:17 下午 | 回覆

  2. eg 1 是中四數學,eg 2是中四附加數,
    eg 3 是中六數統或應數……應該沒錯吧?

    我也來舉個例子:
    cos^2 @ + sin^2 @ =1 正
    cosh^2 @ + sinh^2 @=1 誤
    這樣可以吧?

    迴響 由 — 2009/09/18 @ 5:13 上午 | 回覆

    • Thank you 羊, it is a nice example indeed!

      \cosh^2t - \sinh^2t \equiv 1

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/18 @ 8:53 上午 | 回覆

  3. 還有常犯的錯誤

    (a+b)^1 = a^1 + b^1 正
    (a+b)^2 = a^2 + b^2 誤

    迴響 由 皮旦 — 2009/09/18 @ 11:00 上午 | 回覆

    • 謝謝!這是穩佔「學生常犯錯誤排行榜」第一二位…

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/18 @ 5:50 下午 | 回覆

  4. sq root(a^2b^2) = ab –> right
    sq root(a^2 + b^2) = a+b –> wrong
    宜家同d學生溫距離公式
    學生成日錯

    迴響 由 溟天凱 — 2009/09/19 @ 8:32 上午 | 回覆

    • 又是一個學生的難點。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/19 @ 10:55 上午 | 回覆

  5. 0^1=0^2=0^3=…=0,
    所以0的任意次方等於0。
    其實只有0的正數次方等於0。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/21 @ 9:19 上午 | 回覆

    • 對!這提醒了我們:推論時要小心命題成立的條件。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/21 @ 10:13 上午 | 回覆

  6. 吳sir, 我最近遇到一個論證上的繆論,雖然我發現了一點錯誤,但我希望在此一起分享一下。
    let X be the totall number of integers and N be the totall number of all triangular numbers.

    consider X-N

    Let me list some triangular number
    1,3,6,10,15……n

    let 1 be 1st triangular number, 3 be the 2nd ,6 be the 3rd until n be the N triangular number.

    obviously the non-triangular number followed by 1st triangular number is 2, followed by 2nd one are 4 and 5, followed by 3rd are 7,8,9 etc.

    the totall number of non-triangular number can simply be expressed as 1+2+3+4+5…+N = (N^2+N)/2
    X-N=(N^2+N)/2

    then let us consider the new number formed by two triangular numbers .

    let A,B,C be three triangular numbers. let us use these three numbers to form new numbers.

    they should be 2A,A+B,A+C,2B,B+C,2C,totally 6=1+2+3.

    the totall number of new rnumber can be expressed as 1+2+3+4…+N = (N^2+N)/2

    Obviously, the totall number of new numbers which are formed by 2 triangular numbers is equal to the totall number of non-triangular numbers.

    then all integers can be expressed as 1 or 2 triangular number(s).

    難道高斯當年的論證錯了?這當然不是。 那到地此論證錯在那裏? 我應該發現了這題目的錯誤之処, 現在暫時不說,希望各位想一下,稍后再説(希望我沒看錯)。

    迴響 由 jaychan — 2009/09/21 @ 8:41 下午 | 回覆

    • 請恕我"騎劫"網主的留言版

      首先, 當我們已知三角形數是無窮多時, 那個"數"N 是否還是一個數? 或是我們在假設上的第一個謬誤?
      其次, 假設我們只考慮若干個三角形數, 那句"the total number of new numbers which are formed by 2 triangular numbers is equal to the total number of non-triangular numbers." 並不代表 “A number which is formed by 2 triangular numbers IS a number of non-triangular number" (例如 6 = 3 + 3), 有時我們單純倚靠自己的認知, 缺乏對此之查驗而已 :-)

      迴響 由 皮旦 — 2009/09/21 @ 10:17 下午 | 回覆

      • 感謝皮旦老師的解說!Jaychan,你又看到什麼問題,歡迎分享!

        P.S. 當年高斯證明"任何正整數最多可寫成三個三角形數之和"時,只有 19 歲。

        迴響 由 johnmayhk — 2009/09/22 @ 4:58 下午

  7. 皮蛋老師所說的的確沒錯,讓我在做些補充。很明顯在combinations of 2 triangular numbers有一些是重復了的,所以才會的除如此的繆論。
    在做過如此的“繆論”後,才領略到當年高斯是多麽“勁”, 或許“勁”也不足以形容這位數學王子。
    我對當年高斯的證明十分有興趣,不知道吳sir能不能略述一下其證明。

    迴響 由 jaychan — 2009/09/22 @ 5:23 下午 | 回覆

  8. (A+B)^2=A^2+2AB+B^2
    連其它所有的乘法公式,
    對於乘法沒有交換律的運算(如四元數、八元數、方陣)並不適用。
    (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2
    當AB=BA時,才能化簡為A^2+2AB+B^2。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/24 @ 6:13 下午 | 回覆

    • 感謝 Yee 君!

      1. 如果方陣有 AB = BA = 0 這關係,就有學生「至愛」公式:(A + B)^n = A^n + B^nn \in \mathbb{N}

      2. 聞說,對於 16 元數,甚至

      A(AB) = (AA)B
      (BA)A = B(AA)

      也未必成立。

      我對超複數基本上沒有認知,起碼,對於所有自然數 n,我們是否一定能夠定義「2^n 元數」?其用處如何,全沒頭緒。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/09/25 @ 2:46 下午 | 回覆

  9. (A+B)^n=A^n+B^n
    這是學生常犯的錯嗎?

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/09/26 @ 12:22 下午 | 回覆


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