Quod Erat Demonstrandum

2009/09/27

奇異解

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,HKCEE — johnmayhk @ 9:11 下午
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感謝中五的 Carman 回應了上一個 post,讓我也閒聊幾句,高手見諒。

比如

\frac{dy}{dx} = f(x)

那麼 y 其實是什麼?

尋找 y,就是解微分方程的過程,上例不過用積分,得到

y = \int f(x)dx

如果 F(x)f(x) 的原函數(primitive function),即 \frac{dF(x)}{dx} = f(x),我們可寫

y = F(x) + C(其中 C 是任意常數)

那麼,如果 f(x) 若有「另一個」原函數 G(x),它一定是 F(x) 的形式嗎?這是明顯的,正如 Carman 說

f(x) = \frac{dF(x)}{dx} = \frac{dG(x)}{dx} \Rightarrow F(x) \equiv G(x) + C

但是,如果我們考慮隱函數(implicit functions),情況可能複雜一些。

比如 F(x,y) = C 可推導 \frac{dy}{dx} = f(x,y),但我們不能立即寫 y = \int f(x,y)dx;隨便設 f(x,y),未必容易找出 y 是什麼。比如,設 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y^2},則 y 是什麼?

舉例,對於任意常數 C

1. (x + C)^2 + y^2 = r^2 滿足 y^2(1 + (\frac{dy}{dx})^2) = r^2

但除了 (x + C)^2 + y^2 = r^2,其實還有 y = \pm r 滿足上式。

2. y = (x + C)^2 滿足 (\frac{dy}{dx})^2 = 4y

但除了 y = (x + C)^2,其實還有 y = 0 滿足上式。

3. y = Cx + \frac{1}{C}C \ne 0)滿足 y\frac{dy}{dx} = x(\frac{dy}{dx})^2 + 1

但除了 y = Cx + \frac{1}{C},其實還有 y^2 = 4x 滿足上式。

4. y = Cx + C^2 滿足 y = x\frac{dy}{dx} + (\frac{dy}{dx})^2

但除了 y = Cx + C^2,其實還有 y = -\frac{1}{4}x^2 滿足上式。

上述例子,涉及任意常數 C 者,是微分方程的通解(general solution),而另一個解就是奇異解(singular solution)。

修中學應用數學的同學,我們懂得解小部分一階線性微分方程,起碼可以應付上述的例 1,2,找出通解。但課程沒有教大家如何找奇異解。

聞說,奇異解是通解的包絡線(envelope),何謂包絡線?看看 wiki 的介紹

http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics)

這裡有濟濟一堂的舊文,有興趣或可看看:

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=955854&t=954351&v=t

現在回看上述例子 3,如果把通解的曲線族(family of curves)y = Cx + \frac{1}{C} 繪一繪(輸入不同的 C 值),得到直線族(family of straight lines)如下:

20090927gif01

現在把奇異解 y^2 = 4x 也繪於其上,得:

20090927gif02

同學,你「感受」到曲線 y^2 = 4xy = Cx + \frac{1}{C} 的包絡線嗎?

回看例子 1,2,容易想像奇異解是那些通解的包絡線,大家驗證一下。

再回看上個 post 的例子,把 x^3 - 4x^2y + 3xy^2 - y^5 = C 繪出如下:

20090927gif03

(注:由上而下,C 值分別為 -20,-10,-5,-1,0,1,5,10,20;另外,對應 C = 0 的圖像頗特別。)

單單看上圖,該曲線族似乎沒有包絡線,那麼奇異解似乎也不存在(注:純粹猜測之言,盼高手指正)。

4 則迴響 »

  1. 這些數學知識, 早已忘記了

    謝謝分享!

    《我通我識》節目主持
    http://lslu.wordpress.com/

    迴響 由 lslu — 2009/09/28 @ 9:58 上午 | 回覆

  2. 請原諒我無知,請問 d 又是代表什麽呢?

    迴響 由 andy wong — 2010/12/18 @ 11:33 下午 | 回覆

    • 你修 M1,一定會學到的「求導」技巧。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/12/22 @ 9:05 上午 | 回覆

      • thank you!!!

        迴響 由 andy — 2010/12/22 @ 10:12 上午


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