Quod Erat Demonstrandum

2009/09/29

今天雜記

Filed under: Life,mathematics,NSS,School Activities — johnmayhk @ 11:02 下午
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難以轉化

科主任擬了兩班高中一 M2 的聯測卷,其中有一道題目只有三名學生懂得處理:

Given that x and y are purely imaginary numbers. If (x + y) + (2x - y)i = 12 - i, find (the values of) x and y.

學生記得:purely imaginary numbers 即 real part 是零(且 imaginary part 非零);
學生記得:兩個複數相等是對應的 real part 及 imaginary part 相同。

但要轉化到可以解決上題,測驗結果證明,對於剛接觸複數的高中一同學,不易。

上題的啟示,起碼有:

A + Bi = a + bi未必推論 A = a, B = b

[類似地 b^2 - 4ac > 0未必推論 ax^2 + bx + c = 0 有相異實根(distinct real roots)。]

轉化是不易的,我們是教了 (a + b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2

但不保證學生解以下方程時:

\sqrt{x - 1} + \sqrt{3x - 2} = 4

不會寫出諸如

\sqrt{x - 1}^2 + \sqrt{3x - 2}^2 = 4^2

的錯誤。

對卷時,我又做了少少探究:

「同學,a + bi = 3 + 4i 時,ab 的值,除了(a = 3 & b = 4)外,還有什麼可能性?」
「可以是 a = 4ibi = 3 \Rightarrow b = -3i
「還可以有其他選擇嗎?」
「其中一個是零」(我暗喜,同學開始烎了!)
「對對!比如,b = 0 時,a 是什麼?」
3 + 4i
「對對!那麼,還有沒有其他可能?」
同學們在思考,但放學時間也到。
「嗯,其實有無限可能性的。」

化簡

聯測另一道屬 0.5 分的題目:

Simplify i^{-1007}.

不少同學都寫

i^{-1007}
= \frac{1}{i^{1007}}
= \frac{1}{i^3}
= \frac{1}{-i}

但也拿不到 0.5 分,「得個桔」,因為欠缺了把答案寫成標準式的一步:

\frac{1}{-i}
= \frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}
= \frac{i}{1}
= i

學生對於,比方說

\frac{1}{2 + 3i}

轉成標準式反而較易,即

\frac{1}{2 + 3i} = \frac{1}{2 + 3i} \times \frac{2 - 3i}{2 - 3i} = \frac{2 - 3i}{13}

\frac{1}{i} 這個特例卻「不懂」?

或許在同學心中,\frac{1}{i} 已經夠簡單,何用繼續「simplify」?

之前我建議用:「Express i^{-1007} in standard form of complex number」之類,但科主任擔心如此提問學生不知道 i 已是 standard form,這也有道理的。

古算題

午後是我們數學老師們的「專業對話」時間,科主任質疑《九章算術》卷九「勾股」第二十題:

今有邑方不知大小,各中開門。出北門二十步有木。出南門十四步,折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何?
答曰:二百五十步。
術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之,為實。并出南門步數為從法,開方除之,即邑方。

該題不是用勾股定理解決,何解會歸入「勾股」卷?且「并出…為從法」何義?以我對中國古算題貧乏不堪的學養,當然對提問啞口無言。唯有匆匆在網上搜尋第 N 手的資料,不獲,盼學者指點迷津。

Lesson Checklist

放學後,漫長的教職員會議內,校長建議我們每天每堂根據以下 checklist 審視自己課堂,判別該課堂是否好課堂:

——————-
(1) Setting the stage / Readiness to Learn
a. Discipline time
b. Motivation
c. Introduction
d. Linking up the previous lessons
e. Revision / Pre-lesson preparation

(2) Learning & Teaching Strategies
a. T-P interaction
b. P-P interaction
c. High-order questioning
d. Worksheet
e. Use of IT facilities
f. Games
g. Group discussion
h. Peer learning
i. Catering for learners diversity

(3) Consolidation
a. Checking how much students have learned
b. Take home exercise or task

(4) Self Reflection
a. Lesson objectives met?
b. Do you enjoy the lesson?
——————-

校長隨便抽問我校兩名教師楷模:CC 老師和程 sir,結果是大部份 checklist 的細項,他們也做得很好,叫我羨慕不已。

9 則迴響 »

  1. 為什麼教學一定要依照別人的既定模式?
    只要學生接受得了,就是好的課堂。
    我覺得我上你的Pure堂學到很多。
    大家都不希望玩一些硬拼出來的遊戲。
    反而我們班經常都會有興趣討論一上數學的歷史或來源,
    那不就是在培養我們對數學的興趣和感覺嗎?

    迴響 由 Patrick Wong — 2009/09/29 @ 11:23 下午 | 回覆

  2. Add oil ar john sir! Support U!

    迴響 由 Past student — 2009/09/30 @ 12:33 上午 | 回覆

  3. To Patrick and Past student

    極感謝你們的留言。

    我把之前寫的兩段文字刪除,因為不想負面情緒在網誌中漫延,見諒。

    迴響 由 johnmayhk — 2009/09/30 @ 6:41 上午 | 回覆

  4. 謝謝分享!

    《我通我識》節目主持
    http://lslu.wordpress.com/

    迴響 由 lslu — 2009/09/30 @ 1:10 下午 | 回覆

  5. john sir,

    我唔明<>個條題目係度問咩 = =

    迴響 由 brian — 2009/09/30 @ 7:51 下午 | 回覆

  6. 預祝各位中秋節快樂!

    《我通我識》節目主持
    http://lslu.wordpress.com/

    迴響 由 lslu — 2009/10/02 @ 10:15 上午 | 回覆

  7. 近日尋得本網誌,終日流連,樂不思睡也。小弟不材,還望各方高人指教。

    就有關古算題,小弟亦作了一次試算:

    今有邑方不知大小,各中開門。出北門二十步有木。出南門十四步,折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何?
    答曰:二百五十步。
    術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之,為實。并出南門步數為從法,開方除之,即邑方。

    解:設方城邊長為x

    北門步數:(x+北門步數+南門步數)=(x/2):西行步數
    得: (20)(1775)=(x/2)(x+34)
    即: (20)(1775)(2)=(x)(x+34) (出北門步數乘西行步數)

    試用配方法求解:
    (x)(x+34)+17^2=(x+17)^2 (17 是南北步數之和除以2)
    繼而得: (20)(1775)(2)=(x+17)^2-17^2 (這亦最像與勾股有關的部份)
    71000+289=(x+17)^2
    x+17=267 (開方)
    x=250 (除之)

    以小弟理解,古數題除法用「比」,而減法用「除」(除去之意)

    迴響 由 Toi — 2010/11/20 @ 11:10 上午 | 回覆

    • 謝謝 Toi 的指教,讓我知道:除法用「比」,而減法用「除」。

      樂不思睡?保重保重。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/11/20 @ 12:59 下午 | 回覆

      • 尋得此網頁,今日的我修正昨日的我:(抱歉、見諒。)
        http://www.mikekong.net/Maths/Databases/9_chapters_intro.html

        近日尋得本網誌,終日流連,樂不思睡也。小弟不材,還望各方高人指教。

        就有關古算題,小弟亦作了一次試算:

        今有邑方不知大小,各中開門。出北門二十步有木。出南門十四步,折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何?
        答曰:二百五十步。
        術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之,為實。并出南門步數為從法,開方除之,即邑方。

        解:設方城邊長為x

        北門步數:(x+北門步數+南門步數)=(x/2):西行步數 (相似三角形之比,是故納入是第九章)
        得: (20)(1775)=(x/2)(x+34)
        即: (20)(1775)(2)=(x)(x+34) (出北門步數乘西行步數)

        試用配方法求解:
        (x)(x+34)+17^2=(x+17)^2 (17 是南北步數之和除以2)
        繼而得: (20)(1775)(2)=(x+17)^2-17^2
        71000+289=(x+17)^2
        x+17=267 (開方除之)
        x=250

        「開方除之」在這是慣常代表平方根的意思。

        迴響 由 Toi — 2010/11/21 @ 11:11 上午


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