Quod Erat Demonstrandum

2009/10/13

數列間的距離

Filed under: University Mathematics — johnmayhk @ 1:38 下午

那天和同事閒談兩個數列之間的「距離」,其實沒有什麼奇怪。隨便舉例:

對實數列

x ={x_1, x_2, \dots , x_k , \dots}
y ={y_1, y_2, \dots , y_k , \dots}

定義

d(x,y) = \displaystyle \sum^{\infty}_{k = 1}\frac{1}{2^k}\frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}

易知 d 是實數列集 S「距離」

S 是賦距空間(或稱度量空間 metric space)。

另外,S 是完備(complete)的,即 S 內任意柯西(Cauchy)數列也是收斂的。

寫一寫證明便可。

對任意正數 \epsilon > 0,存在自然數 N_\epsilon,使對於任何大於 N_\epsilon 的自然數 m, n,恆有

d(x_m , x_n) < \epsilon – – – – – – (*)

其中

x_m = {x^{(m)}_1 , x^{(m)}_2 , \dots , x^{(m)}_k , \dots}
x_n = {x^{(n)}_1 , x^{(n)}_2 , \dots , x^{(n)}_k , \dots}

由 (*),對任何固定的自然數 k,及大於 N_\epsilon 的自然數 m, n,恆有

\frac{1}{2^k}\frac{|x^{(m)}_k - x^{(n)}_k|}{1 + |x^{(m)}_k - x^{(n)}_k|} < \frac{1}{2^k} \frac{\epsilon}{1 + \epsilon}
|x^{(m)}_k - x^{(n)}_k| < \epsilon

即 {x^{(n)}_k}_{n = 1}^{\infty} 是在實數集上的柯西數列,故數列收斂。設 {x^{(n)}_k} 收斂於 a_k,並設 a = {a_1 , a_2 , \dots , a_k , \dots},易知

d(x_n , a) \rightarrow 0,即 S 完備也。

發表迴響 »

仍無迴響。

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在WordPress.com寫網誌.

%d 位部落客按了讚: