Quod Erat Demonstrandum

2009/10/14

1,2,3,4 之後是

Filed under: HKCEE,Junior Form Mathematics,mathematics,NSS — johnmayhk @ 7:32 上午

為讓 NSS 的同學多一點探究,在下嘗試在數學課引入一些活動,其中一個舊活動是「交通擠塞」,見

http://mathforum.org/alejandre/java/jam/Jam.html

當天和同學探究 n 對「人」和「最少步數」的關係,易知

n = 1,「最少步數」是 3;
n = 2,「最少步數」是 8;

隨即,我著同學「估」:當 n = 3 時,「最少步數」如何?

本來我希望透過 Jump 和 Slide 的數目,教同學估計「最少步數」的上下限,再透過直接參與那個遊戲,看看和估計的相差多遠,結果,我那堂是徹底失敗。

遊戲未開始,歐同學已說出:當 n = 3,「最少步數」是 15;

問他的計算方法,原來是純觀察數型

f(1) = 3
f(2) = 8
f(3) = ____

他就是推論到 f(3) = 15。

這不是嚴謹的方式。脫離了「背景」,所謂數型的問題是沒有意義,比如

2,4,8,16,…

之後是什麼?不知道,根本沒有定義!

不是 32 嗎?不一定。

舉一個舊例子說明:

連起圓周上 n 點,得出的對角線把圓最多可分割成 m 份;當 n = 2,3,4,5 時,m 值分別是 2,4,8,16;見下

上面就是給了 2,4,8,16 這個數列一個「特殊背景」,於是問:「當 n = 6 時,m 是什麼?」就有意義了。

那麼,當 n = 6 時,m 是什麼?是 32 嗎?不是!

且看:

20091013gif01

可見,當 n = 6 時,m = 31

那天開始教授等差數列(Arithmetic sequence) ,我問:「1,2,3,4 之後是什麼?」同學當然視之為無聊,亂答之。正中下懷!

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

那麼 f(5) 一定是 5 嗎?甚或,f(x) = x 一定是真的嗎?

不一定。

如果認為,由

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

可推論

f(x) = x

就是犯了「以偏概全」的謬誤。

比如

f(x) = x + (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

也可以出現以下效果:

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

但 f(5) 就不是 5 了,而是 5 + (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 29。

甚至更一般地:

f(x) = x + g(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),其中,g(x) 是任你「天花龍鳳」的函數,一樣有以下效果:

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 4

當然,如果知道數列的「背景」,比方說:已知以下數列是等差數列,那麼第 5 項是什麼:

1,2,3,4,…

我們才敢說:1,2,3,4 之後是 5。

5 則迴響 »

  1. 有些東西似曾相識. 數學可訓練logic

    Liberal Studies, the Liberal Us!
    http://lslu.wordpress.com/

    迴響 由 youngleader2008 — 2009/10/14 @ 11:49 上午 | 回覆

  2. 這些所謂的“規則題"其實並沒有嚴謹的定義。
    不管後面填多少,一定可以找出一個多項式作為它的“規則"。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/10/15 @ 12:49 下午 | 回覆

  3. 這種題目不管填什麼數字都不能算錯。
    可惜有些“專家",還沒有意識到這一點,把它當成正式題目。
    至少台灣和中國的國家考試,都出現過這類考題。

    迴響 由 yee3816547290 — 2009/10/15 @ 5:36 下午 | 回覆

    • 那些專家在設計考題上或許要花多一點功夫了。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/10/18 @ 2:30 下午 | 回覆

  4. […] 關於通項,之前也談過,除非先有「特殊規定」,否則所謂通項是無定義的。 […]

    通告 由 無聊談通項 « Quod Erat Demonstrandum — 2012/05/01 @ 9:28 上午 | 回覆


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