Quod Erat Demonstrandum

2009/10/26

利用圖像尋找非實根

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 8:24 下午
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在高中一 NSS 數學課,我開始教二次圖像和二次方程之根(roots)的關係。現在課程涉及複數,卻沒有教如何利用圖像尋找複根(complex roots)或非實根(unreal roots),我在此補充一下。

以下是在下用極速粗製濫造的 ETV,同學先看看:

解說:

(甲)二次方程的情況

ax^2 + bx + c = 0 的複根是 h \pm ik,則

ax^2 + bx + c
\equiv a(x - h - ik)(x - h + ik)
\equiv a((x - h)^2 + k^2) …………………… (*)

由 (*) 可見

y = ax^2 + bx + c 的圖像,其頂點(vertex)的 x-坐標是 h,而 h 就是複根的實部(real part)。

另外,由 (*) 可知 y = ax^2 + bx + c 的圖像,其頂點的 y-坐標是 ak^2(即片中的 m = ak^2);

考慮在二次曲線上的一點 P,其 y-坐標為 y_1 = 2ak^2,那麼 Px-坐標 x_1 是什麼?

只要把 y = 2ak^2 代入 y = a((x - h)^2 + k^2),得

2ak^2 = a((x_1 - h)^2 + k^2) \Rightarrow k^2 = (x_1 - h)^2 \Rightarrow k = |x_1 - h|

即是說,複根虛部中的 k,就是 Px-坐標 x_1h 的距離。

(乙)三次方程的情況

這個要中六同學才明白,高中一同學要忍耐一下。

為簡化,只考慮 x^3 係數為 1。

即設 x^3 + ax^2 + bx + c = 0

首先,實係數三次方程必有實根;若它只有一個實根 \alpha,則設另外兩個複根為 h \pm ik

那麼,片中曲線的方程可寫成

y = (x - \alpha)((x - h)^2 + k^2) ……………………… (1)

現在,設經過 (\alpha , 0) 並相切於曲線的直線方程為

y = m(x - \alpha) ……………………… (2)

假設曲線和直線的切點(point of contact)為 P,如何證明 Px-坐標 h_1 (say) 就是 h

我們(想像一下)解 (1),(2);我們得

(x - \alpha)((x - h)^2 + k^2) = m(x - \alpha)

易知上式的解為 x = \alphah_1,即

h_1 是下式的根,且是重根(repeated root):

(x - h)^2 + k^2 = m ……………………… (2)

既是重根,把上述等式求導後,h_1 仍是根(Why?),即 h_1 滿足:

(x - h) = 0

h_1 真的是 h

由此可見,h (= h_1) 滿足 (2),故

k^2 = m \Rightarrow k = \sqrt{m}

而片中的 \frac{V}{H} 不過是切線的斜率,即 m = \frac{V}{H}

這裡有一個問題,如果切線的斜率 m 是負數,又會怎樣?即出現例如以下情況:

豈不是不能計出 k = \sqrt{m}

同學,試花一點時間先想想。

開估:當我們考慮 x^3 的係數為 1 (或其他正數)時,m 一定是正數。

無他,

因為我們考慮的方程是 y = (x - \alpha)((x - h)^2 + k^2)

故此,

代入大於 \alphax 值,對應的 y 值為正。(即上圖是沒有能的)
代入小於 \alphax 值,對應的 y 值為負。

這就保證了 m > 0

2 則迴響 »

  1. 嘩…難到嘔泡wo…
    點解我都冇得學ga…

    迴響 由 FTL — 2009/10/26 @ 10:21 下午 | 回覆

    • 就算純數課也不會教的…

      迴響 由 johnmayhk — 2009/10/26 @ 10:33 下午 | 回覆


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