Quod Erat Demonstrandum

2009/11/26

小心重覆數算

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,Teaching — johnmayhk @ 11:53 下午

6 對夫婦,隨機選出 4 人,求僅有一對夫婦被選出的概率。

中六的 A 同學答:\frac{C^6_1C^{10}_2}{C^{12}_4} - \frac{C^6_2}{C^{12}_4}

他解釋:P(僅有一對夫婦) = P(起碼一對夫婦) – P(兩對夫婦)

易知 P(兩對夫婦) = \frac{C^6_2}{C^{12}_4},理由是兩對夫婦,就是從 6 對夫婦選出 2 對,共 C^6_2 種可能。

至於 P(起碼一對夫婦),可這樣想:

先從 6 對夫婦選出 1 對,選法為 C^6_1 種。餘下的 2 人,可從 12 - 2 = 10 人當中,隨意選取 2 個,選法共 C^{10}_2 種。故此,「存在起碼一對夫婦」的情況共 C^6_1C^{10}_2

因此,P(僅有一對夫婦) = \frac{C^6_1C^{10}_2}{C^{12}_4} - \frac{C^6_2}{C^{12}_4}

同學,抱歉,上述的答案是錯誤的。停一停,想一想:錯在哪裡?

誠如之前寫過,授課員向學生展示正確做法不難,如本例

P(起碼有一對夫婦) = 1 – P(沒有夫婦) = 1 - \frac{C^6_4(2^4)}{C^{12}_4} ……………… (*)

但要解釋為何學生的答案是錯,有時反而較難。

學生給的解釋,致命傷在於 P(起碼一對夫婦) 根本不是 \frac{C^6_1C^{10}_2}{C^{12}_4};當中的 “C^6_1C^{10}_2" 包含了重覆數算,詳列如下:

設 6 對夫婦為

{a_1 , a_2}, {b_1 , b_2}, {c_1 , c_2}, {d_1 , d_2}, {e_1 , e_2}, {f_1 , f_2}

所謂 “C^6_1C^{10}_2“,其實是計算以下情況的總數:

察看上圖,明顯看到(比如){a_1 , a_2}{b_1 , b_2} 已重覆出現,見 {b_1 , b_2}{a_1 , a_2}。又或出現了 {a_1 , a_2}{f_1 , f_2} 及 {f_1 , f_2}{a_1 , a_2} 等等。

那麼「存在起碼一對夫婦」的可能情況,應是 C^6_1C^{10}_2 減去重覆數算的情況數目。

那麼共有多少個重覆數算的情況?

可以想像

{a_1 , a_2}{b_1 , b_2}
{b_1 , b_2}{a_1 , a_2}

是重覆數算了一次,又或

{a_1 , a_2}{f_1 , f_2}
{f_1 , f_2}{a_1 , a_2}

又是重覆數算了一次,是故

6 對夫婦選出 2 對被重覆數算了,共 C^6_2 種情況。

(或用更直接的方法,從上圖中數算重覆之情況共 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 個。)

所以,

P(起碼一對夫婦) 不是 \frac{C^6_1C^{10}_2}{C^{12}_4},而是 \frac{C^6_1C^{10}_2 - C^6_2}{C^{12}_4}

因此

P(僅有一對夫婦) = P(起碼一對夫婦) – P(兩對夫婦) = \frac{C^6_1C^{10}_2 - C^6_2}{C^{12}_4} - \frac{C^6_2}{C^{12}_4} = \frac{16}{33}

SBA:請解釋 (*) 的由來。

2 則迴響 »

  1. SBA:
    P(沒有夫妻)
    =4個都唔係夫妻
    =從4組不同的夫妻中挑選一個
    =(6C4(6選4) x 2^4(因為有老婆同老公2個比你揀))/12C4

    所以P(起碼一對夫婦)
    = 1 – (6C4x2^4)/12C4

    如果有錯請各位高手加以指證

    迴響 由 Carmen — 2009/11/27 @ 6:01 下午 | 回覆

  2. 恩 carmen 所說的正確,其實這題最容易的應該是算沒有夫妻的概率
    或者直接 10/11*8/10*6/9 = 16/33
    也可以算得到沒有夫妻的概率。
    =。= 中六同學犯了這個可能小學生都懂的問題,而比較難的計算反而沒錯,全因爲思考時沒有周全考慮情況。

    迴響 由 jaychan — 2009/11/27 @ 11:16 下午 | 回覆


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