Quod Erat Demonstrandum

2009/12/04

記中四(高中一)某無聊數學片段

Filed under: Fun,NSS — johnmayhk @ 9:25 下午

一. 某次測驗,同事擬了一題:

Let \alpha, \beta be roots of 7x^2 - 4x - 3 = 0 (\alpha > \beta). Find the values of

(a) \alpha - \beta;
(b) \alpha^3 - \beta^3;
(c) \frac{\alpha}{\beta^2} - \frac{\beta}{\alpha^2}.

大部分同學都乖乖地,用課程中有關二次方程的「根的和積」公式(更一般是韋達定理 Vieta’s Theorem),即

\alpha + \beta = \frac{4}{7}
\alpha\beta = -\frac{3}{7}

進而

(a)
\alpha - \beta
= \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}
= \sqrt{(\frac{4}{7})^2 - 4(-\frac{3}{7})}
= \frac{10}{7}

學生未必懂上述做法,懂的,也有不少在代入數值後運算錯誤。

到 (b)
\alpha^3 - \beta^3
= (\alpha - \beta)((\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta)
= (\frac{10}{7})((\frac{4}{7})^2 - (-\frac{3}{7}))
= \frac{370}{343}

當然,不是所有同學可以寫出第一步,就算可以,略為繁瑣的運算,也有不少錯計。

再到 (c)
\frac{\alpha}{\beta^2} - \frac{\beta}{\alpha^2}
= \frac{\alpha^3 - \beta^3}{(\alpha\beta)^2}
= \frac{370}{343}(-\frac{7}{3})^2
= \frac{370}{63}

可以想像,也有些同學陣亡。

但有極少數的同學,沒有被課程「污染」,他們運用中二學的東西,直接解

7x^2 - 4x - 3 = 0

從而得出:\alpha = 1 , \beta = -\frac{3}{7} (\because \alpha > \beta)

那麼,題目各部份順利KO,見

(a) \alpha - \beta = 1 - (-\frac{3}{7}) = \frac{10}{7}
(b) \alpha^3 - \beta^3 = (1)^3 - (-\frac{3}{7})^3 = \frac{370}{343}
(c) \frac{\alpha}{\beta^2} - \frac{\beta}{\alpha^2} = 1/(-\frac{3}{7})^2 - (-\frac{3}{7})/(1)^2 = \frac{370}{63}

這例帶出什麼啟示?嗯,不借題發揮了,各自表述吧。

二. 昨天校慶,在課室等待拍攝千人大合照時,有同學拿出麻將,玩層層疊。他在第一行放 1 隻牌,第二行放 4 隻,第三行放 9 隻(即第 n 行放 n^2 隻);有同學問,阿 sir,總數有多少隻?如何數?我立回,曰:「n 乘 n 加 1 乘 2n 加 1 除以 6」,眾囧,隨即把式寫在綠板上:1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},隨即,李同學無啦啦出來以 M.I. 解之,還簽個大名?!都好,給我發現他解答的表達有少許問題,可以順便和大家溫書。過程太悶,我隨便問:那麼「1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4」又是什麼?又有同學自發出來,想了想,寫:

1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4 = \frac{n^2(n^2+1)(2n^2+1)}{6}

這是正確的嗎?同學的思路是:

因為

1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4 = (1^2)^2 + (2^2)^2 + (3^2)^2 + \dots + (n^2)^2

1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

所以,只要把上式等號右邊的 nn^2 取代,便得:

1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4 = \frac{n^2(n^2+1)(2n^2+1)}{6}

嗯,上式是錯誤的,正確式子如下:

1^4 + 2^4 + 3^4 + \dots + n^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

學生的數學思考不無道理,但盲點是什麼?我又學通識:不下定論,各自表述。

三. 看 fail 圖多了,估不到我也可提供一張。

呢位同學自以為聰明乎?

8 則迴響 »

  1. fail…

    迴響 由 FTL — 2009/12/05 @ 7:47 下午 | 回覆

  2. 第一題我都只想到用「根的和積」公式…

    迴響 由 LAN — 2009/12/05 @ 9:58 下午 | 回覆

  3. 呀sir
    第一條C點解係除(ab)^2既?

    迴響 由 Carmen — 2009/12/06 @ 6:15 下午 | 回覆

    • 打錯,改了,謝謝!

      迴響 由 johnmayhk — 2009/12/06 @ 8:30 下午 | 回覆

  4. 那係可怕的測驗,睇的係你有冇在中4運用中1~3學ge野。奈何我中1~3都十分懶散,主佑我ar。

    迴響 由 Ma Ka Chung Keith — 2009/12/07 @ 7:40 下午 | 回覆

  5. John Sir, 聽日份卷我用返中二學嘅方法直接計,得唔得?
    (如果有出的話)

    迴響 由 yU — 2009/12/20 @ 10:10 下午 | 回覆

    • 正確可行的方法,無理由唔得的。

      迴響 由 johnmayhk — 2009/12/20 @ 10:55 下午 | 回覆

      • 唔該晒=]
        仲計緊……–“

        迴響 由 yU — 2009/12/21 @ 12:17 上午


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