Quod Erat Demonstrandum

2009/12/15

垂心的坐標

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 2:28 下午
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A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3),易知 \Delta ABC 形心/重心(centroid)的坐標為

G(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} , \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})

以向量表述,

\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}

(初中同學試以 section formula 證之)

但垂心(orthocenter)的坐標呢?所謂垂心,就是三角形的高之交點,當然可以藉著解聯立直線方程得之。但如果把三角形放置在一個好位置,垂心是極易得到。

\Delta ABC 的外心(circumcenter)為 O,並以 O 為直角坐標系的原點(origin),

那麼,垂心 H 的坐標就是

H(x_1 + x_2 + x_3 , y_1 + y_2 + y_3)

以向量表述,

\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}

為什麼?

= = = 停一停,想一想 = = =

AD 為外圓直徑(見下圖)。易知 DB \perp AB。由 CH \perp AB 可見,DB // CH

又因 CD \perp ACHB \perp AC,可見 CD // HB

於是 CHBD 是平行四邊形,從而 CH = DB

現設 MAB 中點(mid-point),易得 2OM = DB

再設 EOM 延線上,使 OM = ME

OE = CH

另外,OE // CH,所以 CHEO 為平行四邊形,那麼

\overrightarrow{OH}
= \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE}
= \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}(注意:OB = OA = 外圓半徑)

證畢。

當然,如果同學一早懂得歐拉線,參考

http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=963991&t=957758

並當中的結果 HG : GO = 2 : 1

由 section formula,立即得到 H(x_1 + x_2 + x_3 , y_1 + y_2 + y_3),初中同學,試試看。

[SBA]

1. 如果 O 在三角形外部,上述的證明有問題嗎?
2. 由形心 G 和垂心 H 的坐標,讓我們很自然聯想到 (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{2} , \frac{y_1 + y_2 + y_3}{2})。這個點有什麼幾何上的意義?試發掘一下。

2 則迴響 »

  1. ah sir, 我想問regular test個10%分點計??

    迴響 由 Jamz — 2009/12/17 @ 4:58 下午 | 回覆

    • A.Math RT1 and RT2 will be counted totally 10% (i.e. contributing 5 marks each).
      G.Math RT will be counted 10% (i.e. contributing 10 marks)

      迴響 由 johnmayhk — 2009/12/18 @ 8:33 上午 | 回覆


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