Quod Erat Demonstrandum

2010/01/06

錯在哪裡:代入法

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:17 下午
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這是中七的陳同學提出的,在此鳴謝。

(2001-AL-Pure Mathematics-II-Q.12(a)(ii))

問:求不定積分 \int \frac{x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}dx

解:

\int \frac{x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}dx = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 + x + 1}

考慮第二項 I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 + x + 1}

用代入法,設 x = -y,則

I
= \frac{1}{2} \int \frac{-dy}{y^2 - y + 1}
= \frac{1}{2} \int \frac{-dx}{x^2 - x + 1} (dummy variable)

故原式

\int \frac{x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}dx
= \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 - x + 1}
= C (arbitrary constant)

但,正確答案是

\int \frac{x^2 + 1}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}dx = \frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}) + \frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}) + C

那麼,上述的所謂解,問題在哪裡?

6 則迴響 »

  1. Dummy variable is not allowed here.

    迴響 由 Alienz Thame — 2010/01/06 @ 11:15 下午 | 回覆

  2. x^2-x+1 = x^2+x+1 ?!

    迴響 由 V2 — 2010/01/07 @ 1:26 上午 | 回覆

  3. 第1項個x同第2項個x 係相同的 如果代換 y = -x , 第1項都要換

    迴響 由 hung — 2010/01/07 @ 12:23 下午 | 回覆

  4. 這不是定積分,不可以用Dummy variable

    迴響 由 hung — 2010/01/07 @ 12:55 下午 | 回覆

  5. Thank you for all your reply!!!

    迴響 由 johnmayhk — 2010/01/07 @ 8:12 下午 | 回覆

  6. definite integral… in出來係一個數字,入面果個variable當然係dummy
    indefinite integral… 本身係一個function, antiderivative… 本身係f(x), 最後都要係f(x) (back substitution)
    或者咁講啦……. 你上面let左x=-y
    但係下個step就將y直接變做x, 即係assume左y=x
    y=x=-y 你覺得有無道理?

    迴響 由 jszy — 2010/05/10 @ 9:41 上午 | 回覆


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