Quod Erat Demonstrandum

2010/01/08

圓桌會意

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE,Teaching — johnmayhk @ 4:04 下午
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對中六應數考試卷,討論一道是但噏求其出的題目:

「16 人,當中包括兩對夫婦,隨意被安排坐有 16 座位的圓桌,求該兩對夫婦並排而坐(sit next to each other)之概率。」

設兩對夫婦為 {A_1 , A_2} 及 {B_1 , B_2}。所謂「夫婦並排而坐」,包括(比方說)以下情況

但以下情況卻不是

同學多數以數算方式解決,即 \frac{13!(2!)^2}{15!}

堂上,我以乘法法則計算,作了以下有問題的講解:

………………………………………………..
先安排夫婦 4 人坐下,第一個隨便坐一位置,見

他的另一半要坐在他旁,可坐在左或右兩個可能,即在餘下的 15 個位,選中該兩個座位,概率為 \frac{2}{15}

坐好了,見

到另一對夫婦,他可以坐在第一對夫婦旁,即下圖箭頭指的位置:

也可以坐其他位置。

他選箭頭指的位置之條件概率為 \frac{2}{14},坐下後,見

那麼最後一人要坐他旁,只有一個位置選擇,概率為 \frac{1}{13}

(Fig. 1)

即,第三個人選箭頭所指位置又能有兩對夫婦並排而坐,條件概率為 \frac{2}{14} \times \frac{1}{13}

如果第三個人不選箭頭所指位置,條件概率為 \frac{12}{14}。他,比如說,選以下位置坐下,

那麼第四人要坐在第三個人旁邊,可選左或右,條件概率為 \frac{2}{13}

(Fig. 2)

於是,第三個人不選箭頭所指位置又能有兩對夫婦並排而坐,條件概率為 \frac{12}{14} \times \frac{2}{13}

綜合上述兩個情況,即夫婦並排而坐之概率為

\frac{2}{15}(\frac{2}{14} \times \frac{1}{13} + \frac{12}{14} \times \frac{2}{13})
………………………………………………..

但,陳同學問:「sir,你個做法犯了重覆算數之謬。」他指出:「第三個人選坐箭頭所指位置與否這兩種情況,同樣出現上面的 (Fig. 1) 和 (Fig. 2) 所示的情形,那不是重覆了嗎?」

導致同學出現這個疑問,就是我的講解不清楚。

大家不難察覺我的講解中的致命傷。

我上面的圖用 @, @, @, @ 來代表夫婦四人,使同學產生錯覺,認為 (Fig. 1) 和 (Fig. 2) 是指同一個情形。其實,它們是不同的。

我不應只說「第一個人坐哪裡,第二個人坐哪裡,第三個人坐哪裡」云云,而是要具體指出,比方說:

A_1 先坐,然後到 A_2,然後到 B_1,然後到 B_2」以顯示在數算過程,次序是非常重要的;把 (Fig. 1) 和 (Fig. 2) 分別改善為

相信比較清楚了。

當然,在 marking scheme 我不會寫上述長篇廢話,只寫出 \frac{2}{15}(\frac{2}{14} \times \frac{1}{13} + \frac{12}{14} \times \frac{2}{13}) 完事,教科書習題的解答也多是「無聲勝有聲」,不會寫「多餘」的文字,這或許是學習概率的難點。

5 則迴響 »

  1. 我是文科生, 但最愛Probability

    迴響 由 Dra — 2010/01/10 @ 12:13 上午 | 回覆

    • 我就最怕教 probability…

      迴響 由 johnmayhk — 2010/01/10 @ 8:54 下午 | 回覆

      • 我也是.

        迴響 由 joesir — 2010/01/16 @ 9:49 上午

  2. 教概率有趣的地方在于其生活化。不像其他数学如数论,同学老执著于:这个学来干什么? 如果班不太大,互动会更多。我是蛮喜欢教概率的。:)

    迴響 由 FrankWong — 2010/10/16 @ 7:58 上午 | 回覆

    • Thank you for your comment and I like the quotation of your blog tag line:

      “I never teach my pupils; I only attempt to provide the conditions in which they can learn."

      迴響 由 johnmayhk — 2010/10/18 @ 11:39 上午 | 回覆


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