Quod Erat Demonstrandum

2010/01/21

中四課堂偶拾

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:55 下午
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1. 教科書一題:

If 3x = A(x - 1)(x + 2) + B(x - 2)(x + 2) + C(x + 1)(x - 1), find the values of A, B and C.

正當我分別代入 x = 1, 2, -2 之際,學生說:「阿 sir,唔駛做了。」

我心諗:中伏!

條題目根本有問題:那不是恆等式。所以 A, B, C 是什麼?隨你喜歡啦。

2. in terms of:

對中四小測,提及一個基本 trick:

Let a = log2, express log5 in terms of a.

做法是

log5
= log(10/2)
= log10 – log2
= 1 – a

我多口說:「"in terms of a" 其實不是太清楚。」

比如,我可否寫

log5
= log(4 + 1)
= log(10^{2a} + 1)

當然,沒有教科書容許這個,但如果題目改為(比方說)

Express log5 in the form of p + qa where p and q are integers.

可能清楚一點。

另外,擬這樣的題很易,求其舉例:

Let a = \log\sqrt[3]{32}, express \log\sqrt[4]{12.5} in terms of p + qa where p, q are rational numbers.

中四同學,試試。

3. 共同備課

校方安排教初中的數學教師「享有」共同備課課節,但高中數學卻沒有這裡的安排,於是科主任由 Day 1 開始自行安排。在會中,科主任經常提出良好的討論問題,多半是我解答不到的,比如:

(a) 如何由 (a^p)(a^q) = a^{p + q}p, q 為正整數成立而過度到對有理數時也成立?
(b) 為何要學習多項式的除法?(我只想到代數學上的意義,想不出生活例子。)

太多要學習的東西,太多想寫的東西,時間所限,貼歌作結。

I Need My Teacher To Learn

7 則迴響 »

  1. 教科書不容許的, 或許比容許的更好
    無奈於制度的框框裡, 很多老師只是(或只能)依書直說

    加油, 巴打

    迴響 由 皮旦 — 2010/01/22 @ 10:19 上午 | 回覆

    • 加油,巴打!大家咁話。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/01/22 @ 10:28 上午 | 回覆

  2. [offtopic]突然間想起一個問題, 希望john sir您能發表意見.
    中四數學課裡, 學生接觸到二次方程公式(quadratic formula).
    一般教科書都以"x等於負b加減開方…" (對不起, 我不懂打tex)以表示方程的求根方法.
    惟當面對著複數根時, 套用這條公式卻像出現了問題, 因為代入a,b及c的數值後,
    開方符號內的是一個負數, 這就帶出一個類似的問題: 究竟"開方號內的負數"是一個什麼的數值?
    還記得john sir您曾於某日刊登過類似的問題 (好像是什麼是開方負1, 卻似乎未被一般數學老師所接受.
    我想問, 假設有一位學生當求解x^2+x+1=0時, 他直接套用公式 (即是把公式內的a,b,c代替成1, 然後寫出x=(-1+-開方3乘以i)/2), 您會如何處理呢?謝謝!

    迴響 由 皮旦 — 2010/01/26 @ 9:55 下午 | 回覆

    • x^2 + x + 1 = 0

      學生直接運用公式,寫

      x
      = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} ……………. (1)
      = \frac{-1 \pm \sqrt{3}\sqrt{-1}}{2} ……………. (2)
      = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} ……………. (3)

      我認為最好不寫 (2),直接由 (1) 跳去 (3) 比較好。

      如果學生不寫 (1),(2) 而直接寫出 (3),我認為問題也不大。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/01/27 @ 11:28 上午 | 回覆

  3. >條題目根本有問題:那不是恆等式。所以 A, B, C 是什麼?隨你喜歡啦。
    咦,問題在哪?條式應該有解架

    迴響 由 妖精 — 2010/02/14 @ 9:50 下午 | 回覆

    • 舉例,如果以下式子是恆等式:

      2x + 3 = Ax + B

      那麼,AB 是確定的,它們的值是

      A = 2B = 3

      把恆等式寫成

      2x + 3 \equiv Ax + B

      就更清楚。

      但如果沒有說明式子是恆等式,只寫為

      2x + 3 = Ax + B

      那麼,它不過是等式。AB 的值就不確定,即是「隨你喜歡」,諸如

      2x + 3 = 4x + 5(這時,A = 4, B = 5
      2x + 3 = 6x + 7(這時,A = 6, B = 7
      2x + 3 = 8x + 9(這時,A = 8, B = 9

      完全沒有問題,我們可解出對應的 x 值滿足等式。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/02/15 @ 4:47 下午 | 回覆


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