中四課堂偶拾

2010/01/21

中四課堂偶拾

Filed under: Junior Form Mathematics,NSS — johnmayhk @ 4:55 下午
Tags: idea of setting question

1. 教科書一題：

If $3x = A(x - 1)(x + 2) + B(x - 2)(x + 2) + C(x + 1)(x - 1)$ , find the values of $A, B$ and $C$ .

正當我分別代入 $x = 1, 2, -2$ 之際，學生說：「阿 sir，唔駛做了。」

我心諗：中伏！

條題目根本有問題：那不是恆等式。所以 $A, B, C$ 是什麼？隨你喜歡啦。

2. in terms of：

對中四小測，提及一個基本 trick：

Let a = log2, express log5 in terms of a.

做法是

log5
= log(10/2)
= log10 – log2
= 1 – a

我多口說：「"in terms of a" 其實不是太清楚。」

比如，我可否寫

log5
= log(4 + 1)
= log( $10^{2a}$ + 1)

當然，沒有教科書容許這個，但如果題目改為（比方說）

Express log5 in the form of p + qa where p and q are integers.

可能清楚一點。

另外，擬這樣的題很易，求其舉例：

Let $a = \log\sqrt[3]{32}$ , express $\log\sqrt[4]{12.5}$ in terms of $p + qa$ where $p, q$ are rational numbers.

中四同學，試試。

3. 共同備課

校方安排教初中的數學教師「享有」共同備課課節，但高中數學卻沒有這裡的安排，於是科主任由 Day 1 開始自行安排。在會中，科主任經常提出良好的討論問題，多半是我解答不到的，比如：

(a) 如何由 $(a^p)(a^q) = a^{p + q}$ 對 $p, q$ 為正整數成立而過度到對有理數時也成立？
(b) 為何要學習多項式的除法？（我只想到代數學上的意義，想不出生活例子。）
…

太多要學習的東西，太多想寫的東西，時間所限，貼歌作結。

I Need My Teacher To Learn

9 則迴響 »

教科書不容許的, 或許比容許的更好
無奈於制度的框框裡, 很多老師只是(或只能)依書直說

加油, 巴打

迴響由皮旦 — 2010/01/22 @ 10:19 上午 | 回應
- 加油，巴打！大家咁話。
  
  迴響由 johnmayhk — 2010/01/22 @ 10:28 上午 | 回應
[offtopic]突然間想起一個問題, 希望john sir您能發表意見.
中四數學課裡, 學生接觸到二次方程公式(quadratic formula).
一般教科書都以"x等於負b加減開方…" (對不起, 我不懂打tex)以表示方程的求根方法.
惟當面對著複數根時, 套用這條公式卻像出現了問題, 因為代入a,b及c的數值後,
開方符號內的是一個負數, 這就帶出一個類似的問題: 究竟"開方號內的負數"是一個什麼的數值?
還記得john sir您曾於某日刊登過類似的問題 (好像是什麼是開方負1, 卻似乎未被一般數學老師所接受.
我想問, 假設有一位學生當求解x^2+x+1=0時, 他直接套用公式 (即是把公式內的a,b,c代替成1, 然後寫出x=(-1+-開方3乘以i)/2), 您會如何處理呢?謝謝!

迴響由皮旦 — 2010/01/26 @ 9:55 下午 | 回應
- 解 $x^2 + x + 1 = 0$
  
  學生直接運用公式，寫
  
  $x$
  $= \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$ ……………. (1)
  $= \frac{-1 \pm \sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}$ ……………. (2)
  $= \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ ……………. (3)
  
  我認為最好不寫 (2)，直接由 (1) 跳去 (3) 比較好。
  
  如果學生不寫 (1)，(2) 而直接寫出 (3)，我認為問題也不大。
  
  迴響由 johnmayhk — 2010/01/27 @ 11:28 上午 | 回應
  - Thanks :-)
    
    迴響由皮旦 — 2010/01/27 @ 12:42 下午
>條題目根本有問題：那不是恆等式。所以 A, B, C 是什麼？隨你喜歡啦。
咦，問題在哪?條式應該有解架

迴響由妖精 — 2010/02/14 @ 9:50 下午 | 回應
- 舉例，如果以下式子是恆等式：
  
  $2x + 3 = Ax + B$
  
  那麼， $A$ 和 $B$ 是確定的，它們的值是
  
  $A = 2$ ， $B = 3$
  
  把恆等式寫成
  
  $2x + 3 \equiv Ax + B$
  
  就更清楚。
  
  但如果沒有說明式子是恆等式，只寫為
  
  $2x + 3 = Ax + B$
  
  那麼，它不過是等式。 $A$ 和 $B$ 的值就不確定，即是「隨你喜歡」，諸如
  
  $2x + 3 = 4x + 5$ （這時， $A = 4, B = 5$ ）
  $2x + 3 = 6x + 7$ （這時， $A = 6, B = 7$ ）
  $2x + 3 = 8x + 9$ （這時， $A = 8, B = 9$ ）
  …
  
  完全沒有問題，我們可解出對應的 $x$ 值滿足等式。
  
  迴響由 johnmayhk — 2010/02/15 @ 4:47 下午 | 回應
  - 若題目問 “Ax+B=2x+3, x 是多少?" 意味這是一條線性方程
    若題目問 “Ax+B=2x+3, A和B 是多少?" 意味這是兩條相同的多項式. 你平時寫 $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$ 還是 $x^2-3x+2 \equiv (x-2)(x-1)$?
    
    迴響由 Wilson Cheung Wai-Shun — 2017/04/08 @ 4:41 下午
  - 之前好一段時間，我做諸如因式分解時，也堅持寫：
    
    $x^2-1$
    
    $\equiv (x+1)(x-1)$
    
    及後，某次會，所有其他老師覺得我很怪，話全世界教科都唔會咁寫，於是我屈服了。
    
    這意味甚麼？
    
    迴響由 johnmayhk — 2017/04/10 @ 11:25 上午

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