Quod Erat Demonstrandum

2010/02/27

有關 sin(x)/x 接近 1 的循環論證

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:19 上午
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農曆新年假期前,感謝 Justin 給我找了一篇文,記載於 The College Mathematics Journal, Vol. 24 No. 2 (Mar., 1993), pp. 160-162,題為:A Circular Argument,作者:Fred Richman,談到「證明」 \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 時犯了循環論證的問題。

通常的「證法」,先考慮

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0+}\frac{\sin x}{x}

透過以下圖像

考慮以下三個圖形之面積:

三角形 OAC,扇形 OAC 及直角三角形 \Delta OBC,從而得

\sin x < x < \tan x ………… (*)

基於上述不等式,取 x \rightarrow 0+,最後得 \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1

問題是,要得到 (*),就要計算扇形面積,即要知圓面積。

但圓面積 \pi r^2 是如何得出?

如果諸君以圓內接正 n 邊形的面積之上確界作為圓面積,算之曰

\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(n \times \frac{1}{2}r^2\sin\frac{2\pi}{n}) = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\pi r^2\frac{\sin (2\pi /n)}{2\pi /n} = \pi r^2

看,最後一步是用了 \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1,循環論證在此。

(注:二千多年前,歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》(The Elements)已有證明圓面積,同學可細察。)

在共同備課節和科主任略談此事,他建議用級數

f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots

\sin x 之定義。

但問題是如何證明 f(x) 就是我們慣常的 \sin x?仍未有定奪。

作者引述 L. Gillman 在 American Mathematical Monthly 98 (1991) pp 345-348 的文章:"\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 本質上就是圓周之定義",那乾脆視 \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 為定義。

科主任認為要向學生提及這些,否則他們會「一世都唔知」。我就希望香港中學數學教科書的作者可以幫助我眾教員和學生釋疑。謝謝。

想看"A Circular Argument"全文的諸君,可電郵:

johnmayhk@yahoo.com.hk

2 則迴響 »

  1. 我認為下面是一個作法
    令角度 為 x 的扇形面積為 A(x) , 0 < x < 2pi
    A(x) 遞增,
    然後證明 A(nx) = nA(x) for 0 < nx < 2pi
    A(x/m) = A(x)/m, for 自然數 m, n
    所以 A(rx) = rA(x) for 0 < rx < 2pi
    接著利用 A(x) 的遞增性, A(sx) = sA(x) for 0 <sx < 2pi, s 為實數
    所以 A(x) = A( (x/pi) pi) = (x/pi)A(pi) , 令 A(pi)/pi = b, 則 A(x) = bx
    接著由面積知道 sinx < A(x) < tanx, 或 sinx < bx < tanx
    然後證出 lim sinx/x = b, (sinx)' = bcosx, (cosx)' = -bsinx
    接著算 (cost, sint), t 由 0 到 pi 的長度, 可以算出為 b pi
    但 pi 的定義為半徑為 1 的半原周長, 所以 b =1

    迴響 由 abc — 2011/10/04 @ 7:23 下午 | 回覆

    • 謝謝 abc!

      問一問:如何由 A(x) 的遞增性,得 「A(sx) = sA(x) for 0 <sx < 2pi, s 為實數」?

      早前網友提議用 Green's theorem 得圓面積 \pi r^2以避開循環論證,不知意下如何?

      迴響 由 johnmayhk — 2011/10/06 @ 5:20 下午 | 回覆


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