Quod Erat Demonstrandum

2010/03/02

無解

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 11:18 上午
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4^x + 5(2^x) + 4 = 0

4^x + 5(2^x) + 4 = 0
(2^x)^2 + 5(2^x) + 4 = 0
(2^x + 4)(2^x + 1) = 0
2^x = -4 or 2^x = -1

同學,之後我們寫什麼?

No solution?

已往(但 1985 年之前怎樣?)的中四普數課程,只有實數,沒有複數,於是寫"No solution",其實暗示"No real solution"(沒有實數解)。但現在新高中課程,引入了複數,問題出現了。如上題,如果同學答"No solution",其實是的。

同學,大家知道,google.com 可作計算機用,現在試在 google 的 search bar,輸入

2^(pi/ln(2)*i)

Enter 後,看看答案是多少?

可見

2^{(\frac{\pi i}{\ln 2})} = -1

也就是說,(如果你信 google 計算機的話)其實

2^x = -1 是有解的,起碼有 x = \frac{\pi i}{\ln 2}。(其中 i^2 = -1

更一般的解是 \frac{(2k + 1)\pi}{\ln 2} (k \in \mathbb{Z})

問題是,相信只有少數高中一的同學懂得解上述方程,那麼,對大部份的同學,如何判別:"No real solution"還是真正的"No solution"呢?授課員唯有在出題時,避免說

Solve 4^x + 5(2^x) + 4 = 0.

而是講清楚,諸如

Solve 4^x + 5(2^x) + 4 = 0 for real numbers x.

Solve \log x + \log (x - 1) = \log 2 for x > 1.(這個大家未必同意)

諸如此類。

因上述討論,我查看 Curriculum Development Institute 發給中學數學授課員的 “Explanatory Notes to Senior Secondary Mathematics Curriculum – Complusory Part",沒有找到什麼,卻見在 P.6 提及 “…the written form (-8)^{\frac{1}{3}} should be avoided." 嗯,是否擔心諸如

-1 = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^\frac{2}{6} = [(-1)^2]^{\frac{1}{6}} = 1^{\frac{1}{6}} = 1

的問題?

不知,書中沒有交代。

提到 log 的生活應用,不是地震就是聲音強度,有沒有第三個例?還有,教科書記載,

Let M be the magnitude of an earthquake and E units be the energy released from the earthquake, then M is a function of E as follows:

M = \frac{2}{3}\log E - 2.9

和已往接觸過的不同,可否告訴在下,式從何來?

另外,在文理共融下的新高中,物理例子(諸如聲音強度)還適合嗎?


(摘自:網上)默默記念

9 則迴響 »

  1. log能夠用來計算不同星等的亮度差
    亦可以在已知視星等和絕對星等的情況下計算距離
    只是這些並不太算得上是生活應用 @@""

    迴響 由 Woody@5E — 2010/03/03 @ 12:48 上午 | 回覆

    • 木的,超。級。感。激。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/03/03 @ 7:42 上午 | 回覆

  2. 以我所知,logarithm在computer science有很多的應用,例如用於計算某algorithm的速度之類, for example binary search會比續個search快,不過在cs中還會如何應用,我就不太清楚了.
    剛wiki了logarithm,裡面還介紹了logarithm的應用(在science中)

    迴響 由 Justin — 2010/03/04 @ 2:47 下午 | 回覆

    • 係 wor,維基有豐富資料,為何我不去看看?

      其中 log 的應用可以有關音樂的:

      Musical intervals are measured logarithmically as semitones.

      中學生或對此有較大興趣。謝謝 Justin 的資料提供。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/03/04 @ 4:37 下午 | 回覆

  3. 呀sir
    x^x = 3
    點樣計?

    迴響 由 Carmen — 2010/03/05 @ 11:51 下午 | 回覆

  4. 高中就學複數的指數,實在是太早了。
    等到大學再學還不算太遲。

    迴響 由 Yee — 2010/03/17 @ 12:26 下午 | 回覆

    • 對。

      文中只提及諸如 2^x = -1 並不一定無解,著同學寫"無實解"更洽當。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/03/18 @ 10:45 下午 | 回覆

  5. 上述 -1=1 之間,邊到出錯呢?

    迴響 由 路過 — 2010/03/21 @ 11:37 下午 | 回覆


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