Quod Erat Demonstrandum

2010/03/04

三角習題的問法

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE,NSS — johnmayhk @ 12:43 下午
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那天,走進中四班房,二話不說在綠板寫下 EQ (i.e. Easy Question):

(1 + \tan 1^o) \times (1 + \tan 2^o) \times (1 + \tan 3^o) \times \dots \times (1 + \tan 44^o) = ?

數學高手當然不屑,但對剛剛開始認識 compound angle formulae 的同學,或有點難度。

我沒有直說,一路舉例,結果到了以下習題:

證明

If x + y = 45^o, then (1 + \tan x)(1 + \tan y) = 2.

立即,同學知道破解 EQ 的方法。

上述證明題就停在那裡,但變成 EQ,不知可否提升一點「趣味」?

又比如,試找出三個非零實數,滿足以下條件:它們的和(sum)等於它們的積(product)。

停一停,想一想。

其實有無限個解,諸如

\sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}

又例如

\tan 12.34^o + \tan 56.78^o + \tan 110.88^o = \tan 12.34^o\tan 56.78^o\tan 110.88^o

同學要不要按計算機驗證?

明眼人知上述題目是故弄玄虛,它們不過是以下習題:

If A + B + C = 180^o, then

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C.

代入 A = B = C = 60^o,就得到 \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}

問什麼三數和等於三數積,不知可否提升一點「趣味」?

剛在課堂介紹了三角學中的 “CAST",我在錄板寫了 (-,-)[代表第三象限角對應的座標]同學笑了。為解答「九十度在第幾象限?」,網上偶然遇上符號表情,見

上圖源自
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system#Quadrants_and_octants

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