Quod Erat Demonstrandum

2010/03/21

三角方程的通解

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKCEE — johnmayhk @ 9:41 下午
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施同學剛致電問 1980 年會考附加數卷一第七題

Find the general solution of

\tan7\theta + \cot2\theta = 0 … … … … (*)

我第一時間想到的是弄出 \tan A = \tan B 這種狀態。以下是 marking scheme 提供的答案:

在 Alternatively 給出的解是

\theta = \frac{2n - 1}{10}\pi 其中 n 是整數。

但當(比方說) n = 3 時,\theta = \frac{\pi}{2},代入 (*) 是不合的。(難道要接受「無限減無限是零」?)

似乎正確答案應要排除一些數值,提議:

\theta = \frac{2n - 1}{10}\pi 其中 n 是整數且 n \notin {\frac{5m + 1}{2} | m \in \mathbb{Z}}

P.S. General solution 這個課題在新高中取消了,連同解三角方程也在 M2 中漸漸消退,「輔助角」更變成罕見技巧。末屆會考,會否仍存在 general solution 的題目?嗯… …

無聊說說:

有云,餘切(Cotangent)的定義是

\cot\theta \equiv \frac{1}{\tan\theta}

這個說法是好的嗎?

嗯,請問 \cot 90^o 是什麼?

書中說 0,但根據上述定義,\cot 90^o 應是「無定義」。(我們可以籠統說:「1 除以無限大是零」嗎?)

如果把 \cot\theta 定義為 \frac{x}{y},其中,(x,y) 是在單位圓上對應角 \theta 的點的坐標;那麼當 \theta = 90^o,其對應點為 (0,1),即 \cot90^o = \frac{0}{1} = 0。得出「合理」的答案。

5 則迴響 »

  1. 如果我們以infinite series的角度來定義trigonometric functions,某程度能否解決(或者迴避了)上述的問題呢?
    若以Taylor’s series來表達trigonometric functions,那麼我可以"入落function"的angle便有了限制,否則便會出現發散的情況.

    在這裏倒是有一個問題,sec,csc,cot的定義是為了方便運算還是有別的意義呢?

    迴響 由 Justin — 2010/03/22 @ 10:17 上午 | 回覆

    • Justin,

      對於為何要定義 sec,csc,cot,盛 sir 的意見是:避免和三角的逆函數在符號上出現混淆。即

      \cos^{-1}x\frac{1}{\cos x} 是不同,不如把它們用新的符號分別清楚記為

      \arccos x\sec x 較佳。

      至於以 Taylor’s series 來定義三角函數,我也未深入理解可否回避某些問題,只感到數學上的東西沒有絕對因果,即「一切視乎你看哪個是定義,哪個就是結果」而已。(都唔知講什麼,不多說,工作去了。)

      迴響 由 johnmayhk — 2010/03/22 @ 11:00 上午 | 回覆

  2. 那麼我們還可以教學生 “tan (90-x) = 1 / tan x" 是恒等式嗎?

    迴響 由 hotcooljoe — 2010/03/23 @ 2:46 上午 | 回覆

    • \tan(90^o - x) \equiv \frac{1}{\tan x}

      時,講清楚定義域(domain)是什麼,對新高中一的學生,他們學了函數概念,對此他們應可接受。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/03/25 @ 10:04 上午 | 回覆

  3. 諸如「\tan xx = 90^o 無定義」這個事實,我們要小心。

    隨便舉例,設 0^o < x < 360^o,解

    \cos x(\tan x - 1) = 0

    我們或寫

    \cos x = 0 OR \tan x = 1

    x = 90^o, 270^o OR x = 45^o, 225^o

    但,同學小心,

    x = 90^o, 270^o」 should be rejected!

    迴響 由 johnmayhk — 2010/05/31 @ 3:15 下午 | 回覆


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