Quod Erat Demonstrandum

2010/03/25

Rational Function

Filed under: NSS — johnmayhk @ 1:55 下午
Tags:

和網友電郵交流,也分享如下


網友
「在新高中數學中,有一個課題叫 “rational function" (類似以前的 algebraic fraction) 當討論形如 “(a^2-b^2)/(a^3-b^3), (x+y)/(x-2y)"等,我會想︰學生心裡會否問在這個 function 中,那一個是變數 (variable)?當他們學 functions 時,學的是 y=f(x) 的 one variable function,但現在他們面對的,卻是 function of two variables, 只是我們不會用 R(a,b) 來表示。其實,我不明白點解要引入 “rational function" 一字。就算在 M2 的 curve skecting 需要,都只是 rational function of one variable 而已。請問你教這課題時,會否好似我一樣,淡化 “function" 一字,叫學生當它們分數做就算。」

在下
若然不是網友提一提,我沒有想過這問題。

已往談 rational function 主要在純數課,也不過是一元函數。

網上查一查,暫時只看到其定義也涉及一元而已。

當然,我們可以理解形如 x^2 – y^2 的東西,當固定 y 值,它是 x 的函數,這樣,或許勉強乎合其定義,但始終未敢下定論。

上純數課時,我也曾經帶出過多元函數這個名詞(甚至 z = f(x,y) 這樣的符號);那時,學生理解似乎問題不大。

最近一次談多元函數是在中四教聯變(joint variation)時,我指明一個量(例如物理變量)可以受著其他變量影響,比如 z = xy(但世事未必如此簡單云云)。

話說回來,如果中學課程完全不引入 rational function 這名詞,應該問題不大。當然如果想把整數的加減乘除的運算「移植」到多項式,我們有諸如 quotient, remainder 等「平行」用詞,再引入 rational function 與 rational number 「平行」,或許對學生有「分類」或「類比」上的幫助,但是否必要?似乎不是。

P.S.

偶然找到下網頁,似乎可以作為中學同學的探究對象:

http://id.mind.net/~zona/mmts/functionInstitute/rationalFunctions/RationalFunctions3Over3/RationalFunctions3Over3.htm


網友
「看一看 EDB Math Section 出的 “Explanatory Notes to Senior Mathematics Curriculum" (P,8, P.9)

P.8:
To articulate with the Extended Part, the term “rational function" is used in this Learning Unit to replace the term “algebraic fraction".

我想所謂 extended part 部份,都是 rational function curve sketching 的問題. 看不出有_必要_在必修部份引入(多個一個變量)的 rational function。

P.9
When perfoming the operations of addition, suibtraction, multiplication and division of rational functions, the number of variables should not be more than two to avoid over-complicated computations.

如此看,當局是否看作 rational function of two variables?

你用 23 /5 = 4 + 3/5 作比喻,帶出 rational function 的觀點很好,但做長除時上課只是做一個不定元的多項式。

總之,當我上堂講 rational function 一字時,有些不自在。」

在下
根據 P.9 即暗示他們認為存在 multi-variable rational functions,這真偽我仍未證實。

有關多項式和整數的類比,在多元多項式的情況是有些問題(例如商之不唯一性)。

至今我未正式和高中一同學介紹 rational function 這個字,不知將來 HKDSE 會否問(比方說)以下哪個是 rational function:

A. x/x
B. (xyz)/(uvyz)
C. xsiny/siny
D. (1/x)/(1/y)

縱使不自在,我們似乎不能避免地要跟公開試的指揮棒走。

P.S. 誠蒙網友准許張貼,欲得更多朋友討論,謝謝。

1 則迴響 »

  1. 補充:在 linear programming 一課,要 optimize 的函數,在教科書中也表成 f(x,y) = ax + by,就是稍稍地引入了多元函數。

    迴響 由 johnmayhk — 2010/04/26 @ 9:41 下午 | 回覆


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在WordPress.com寫網誌.

%d 位部落客按了讚: