Quod Erat Demonstrandum

2010/04/05

心在線上

L.U. 的一道舊題目,見下:

設三角形三邊之方程為

y = m_1x + \frac{a}{m_1}
y = m_2x + \frac{a}{m_2}
y = m_3x + \frac{a}{m_3}

證明該三角形的垂心(orthocentre)的 x-坐標是 -a

正如科主任說,這題不用半張 A4 紙就能解決,贊同!同學可自行試試。

但我想:為何人們可以創作結果如此「簡潔美麗」的一道題?

為了在監考時打發時間,我思考,結果聯想到拋物線。

y = mx + \frac{a}{m} 不就是拋物線 y^2 = 4ax 的切線(tangent)嗎?

如果切線互相垂直,它們的交點之 x-坐標就是 -a。咦,看來可以循拋物線的幾何特性入手去研究,想到這裡,整個人頓時興奮起來,以致我的形體動作令在場的監考同事側目,幸好沒有影響在場的中五考生的考試情緒…

或許香港的學生太習慣以代數處理幾何問題,或許藉這帖讓同學以比較幾何的眼光看待幾何問題。先溫習一下:什麼是拋物線,焦點,準線?

參考上圖,在平面上設定一固定點 F 和固定直線 L(紅線)。考慮一個可動點 P,它和 F 的距離恆常等於它和 L 的距離。即 PF = PN(其中 N 是 P 到直線 L 的垂足)則 P 走出來的軌跡(locus)稱為拋物線。

這樣,F 稱為拋物線的焦點(focus)L 稱為拋物線的準線(directrix)。

點擊以下結連探究一下吧:

http://johnng.inscyber.net/ggb/2010/2010_04_04.html

關於拋物線,原來有個漂亮的幾何結果:

以拋物線的任意三條切線(tangents)作三角形的邊,則該三角形的垂心(orthocentre)必落在拋物線的準線(directrix)上。

(用詞欠嚴謹,見諒。)


參上圖,紫色的三角形由拋物線三條切線為邊。H 是三角形的垂心,紅線為準線。試點擊以下結連探究一下:

http://johnng.inscyber.net/ggb/2010/2010_04_04_1.html

L.U. 的那題就是利用上述結果,考慮拋物線,其方程為 y^2 = 4ax,則它的任意三條切線,方程形如

y = m_1x + \frac{a}{m_1}
y = m_2x + \frac{a}{m_2}
y = m_3x + \frac{a}{m_3}

而拋物線的準線之方程是 x + a = 0,由上述結果,垂心的 x-坐標必然是 -a

現在,利用以下四個【事實】,證明上述漂亮結果。

【事實一】:以拋物線的切線為鏡,則焦點 F 的鏡像 F’,必落在準線上。

又試點撃以後結連感覺一下:
http://johnng.inscyber.net/ggb/2010/2010_04_04_2.html

要證明【事實一】,我們用了另一個結果,見下

設 P 為拋物線上某點,它到準線的垂足為 N。則過 P 的切線 PA 就是 \angle NPF 的角平分線(angle bisector)。為何?不難證明,點撃下文看看:

https://johnmayhk.wordpress.com/2009/12/14/a-property-of-parabola/

再由準線定義,知 PF = PN。得 \Delta PNA \cong \Delta PFA(S.A.S.)所以,NA = AF 且 NA 垂直切線 PA,換言之,N 就是 F 對於切線 PA 的鏡像 F’,亦即,F’ 落在準線上。

【事實二】西姆松定理(Simson theorem)

這也是一個頗精采的結果。

平面上設一點 P 和一個三角形 ABC。設 P_1, P_2, P_3 是 P 點到 \Delta ABC 三條邊的垂足。

那麼,P,A,B,C 共圓(concyclic)當且僅當 P_1, P_2, P_3 共線(collinear),見下圖。

又試點撃以下結連感覺一下,加深印象吧:

http://johnng.inscyber.net/ggb/2010/2010_04_04_3.html

因時間倉卒,我亂用了這結果擬了今年校內的 F.5 Additional Mathematics Mock Examination 的一道題(Q.15),有興趣的同學可以下載考卷試試(注:有幾名學生取九十分以上,及格率超過 50%。):

johnmayhk-additional-mathematics-mock-examination-2010

好,現在證明【事實二】。

\Leftarrow)設 P 點到 \Delta ABC 的三邊之垂足 P_1, P_2, P_3 共線,見下圖。

\angle PP_1C = \angle PP_2C = \angle PP_3B = 90^o,易知

P_1, P_2, P, C 共圓;P_2, B, P_3, P 也共圓 … … (*)

那麼,

\angle BAC + \angle BPC
= \angle BAC + (\angle BPP_2 + \angle P_2PC)
= \angle BAC + (\angle BP_3P_2 + \angle AP_1P_2)(因為 (*))
= 180^o (\angle sum of \Delta)

也即是說,A,B,P,C 共圓。

\Rightarrow)現設 A,B,P,C 共圓,見下圖。

P_3, P_2 分別為 P 點到 AB,BC 的垂足。連 P_3P_2 交 AC 於 Q。欲證三垂足共線,即證 Q 點其實就是 P_1(即 P 點到 AC 的垂足)。我試證 Q, P_2, P, C 共圓也可。

參考下圖,設 \angle PCQ = \alpha\angle QP_2C = \beta

參考下圖,易知 \angle QP_2C = \angle BP_2P_3 = \angle P_3PB = \beta

又因 A,B,P,C 共圓,得

\angle ABP = 180^o - \alpha

另一方面,

\angle ABP = \angle BP_3P + \angle P_3PB = 90^o + \beta

所以

180^o - \alpha = 90^o + \beta
\Rightarrow (90^o + \beta) + \alpha = 180^o
\Rightarrow \angle PP_2Q + \angle PCQ = 180^o

Q, P_2, P, C 共圓,即垂足 P_1, P_2, P_3 共線。

注:這條線稱為 P 點對應 \DeltaABC 的西姆松線(simson’s line)。

有了【事實一】和【事實二】,我們可以得到以下的

【事實三】以拋物線的三條切線圍出三角形 ABC,則 F,A,B,C 共圓。見下

又是那句,點擊以下結連,感受一下:

http://johnng.inscyber.net/ggb/2010/2010_04_04_4.html

證明【事實三】,首先,

由【事實一】,焦點 F 對於切線(即三角形的邊)的鏡像 F’ 必落在準線上。

即 F 到切線的垂足,正是 FF’ 的中點(mid-point)。

連起垂足 P_1P_2P_2P_3,由中點定理(mid-point theorem),知 P_1P_2P_2P_3 皆平行於準線。換言之,P_1, P_2, P_3 共線。

所以,由【事實二】,得 F,A,B,C 共圓。

終於,垂心出場了。

【事實四】設 P 點在 \DeltaABC 的外圓上,H 是 \DeltaABC 的垂心。則 P 點對應 \DeltaABC 的西姆松線平分(bisect)線段 PH 。

點擊以下連結感受吧:

http://johnng.inscyber.net/ggb/2010/2010_04_04_5.html

現在證明【事實四】。

參考下圖。

垂心 H 到 BC 的垂足為 D。HD 交外圓於 A’。易知 HD = DA’(中四五的同學,可以此為習題,見文末 [SBA] Q.2)。

另外,設 Q 點在 PP_2 上使 QP_2 = P_2P。因 QP // HA’(因兩者皆垂直 BC),所以 PQHA’ 是等腰梯形。

設 PQ 交外圓於 P’。易知 PP’AA’ 也是等腰梯形。故 HQ // AP’。

最後證明,AP’ 平行西姆松線。因 \angle AP'P = \angle ACP。而 \angle ACP = \angle P'P_2P_3(因 P_2, P, C, P_3 共圓),故 \angle AP'P = \angle P'P_2P_3 即 AP’ 平行西姆松線。

由截線定理(intercept theorem),得知西姆松線平分線段 PH。【事實四】得證。

好了,我們快要得到那個漂亮結果。

由【事實三】,知焦點 F 和 A,B,C 共圓。
由【事實四】,知西姆松線平分線段 FH。
由【事實一】,知垂足 P_1, P_2, P_3 為 F 對應落在準線的鏡像 F_1, F_2, F_3 之中點。見下圖

換言之,西姆松線平行準線,且 F 和西姆松線的距離為 F 和準線距離之半。
由【事實四】,因西姆松線平分線段 FH,即 H 必落在準線上。

Q.E.D.

橫豎弄了,點擊看看:

http://johnng.inscyber.net/ggb/2010/2010_04_04_6.html

嗯,本來用半張 A4 紙可以解決的問題,在下竟然長篇大論!目的只為多一點幾何感而已,高手見諒。

[SBA]

1. 試利用半張 A4 紙完成 L.U. 那道習題。
2. 中四五習題:設 \DeltaABC 的垂心為 H。證明 H 對應三角形三條邊的鏡像,皆落在 \DeltaABC 的外圓(circumcircle)上。
3. 上文中的證明(或/和當中的用詞)相信存在不少漏洞,試加以批評及完備當中的缺憾。

參考資料及延伸閱讀

Elementary Properties of Curves of Second Degree

9 則迴響 »

  1. Hello John sir,
    講到香港的學生太習慣以代數處理幾何問題
    記得當年中四circle hw一題
    好似求穿過圓形部分最長的直線
    手上solution用D
    果時未教,就用左最低能方法:
    穿過圓形部分最長 -> 通過圓心
    有趣多了

    見笑了 XD

    迴響 由 小R — 2010/04/06 @ 12:35 上午 | 回覆

  2. Hello,

    For the mock exam 2010, where can i get the ans? Thanks!!!

    迴響 由 Sam — 2010/04/07 @ 1:40 下午 | 回覆

  3. @小R

    估不到畢業多年的你,還記得中四時學習數學的情況,甚是難得。希望是有趣的經驗居多。

    代數或幾何的方法,或沒有什麼優劣,因題而異吧。只是個人喜歡較直觀的方法,不喜歡死計而已。

    @Sam

    I’d sent it to you through your email wong_____@yahoo.com.hk

    please check it.

    迴響 由 johnmayhk — 2010/04/12 @ 5:52 下午 | 回覆

  4. Hello again, Ng Sir
    Thanks, I can receive it!!!

    迴響 由 Sam — 2010/04/13 @ 1:36 下午 | 回覆

  5. Personally, I think section A is up to standard, and for Long Q, Q 15 and 17 are a bit difficult… Actually, the questions are very interesting, and good for students!!!

    迴響 由 Sam — 2010/04/13 @ 1:58 下午 | 回覆

    • 那天考完,有(不是我教的)同學說份卷難,我連忙對他說:「對不起。」

      迴響 由 johnmayhk — 2010/04/13 @ 7:29 下午 | 回覆

  6. Ng Sir,
    In fact, I think HK secondary schools really need these types of trainings, only difficult questions can help them to understand WHAT IS MATHEMATICS —– A subject for brainstorming, and train our mind. So don’t blame on urself la for setting these q.

    迴響 由 Sam — 2010/04/13 @ 8:23 下午 | 回覆

  7. Ng Sir,
    For your mock paper, Q16 (b)(i), I think there is sth wrong with the ans, the ans should be 86.1 degree, as the cos angle BAC = 0.0677 (without the negative sign)…

    迴響 由 Sam — 2010/05/02 @ 11:03 上午 | 回覆

    • Yes, I guess I’d sent the uncorrected version to you, sorry for that. The answer is “possible" because ALL the angles are acute and hence the circumcentre lies inside the triangle.

      迴響 由 johnmayhk — 2010/05/02 @ 4:53 下午 | 回覆


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