Quod Erat Demonstrandum

2010/04/12

有關雙曲線的兩件事

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 5:29 下午
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雙曲線(hyperbola)的貫軸/橫截軸(transverse axis)之定義如何?

a, b 為正數。

教科書及較舊的純數參考書記:對於方程為 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的雙曲線,其圖象如下:


(圖片來源:維基)

設雙曲線交 x-軸於 A_1, A_2,則線段 A_1A_2 就是橫截軸,且橫截軸的長度2a。(見上圖)

但維基的資料顯示,橫截軸是連接焦點 F_1, F_2直線 F_1F_2,既是直線,長度就是無限。

大家有何意見?個人感受:「軸」,諸如 x-軸、對稱軸,長度如何?重要不大。所以偏向相信橫截軸是直線而非線段

談到雙曲線,這裡有一道題:1993 AL Pure Math (II) Q.9 見下

最後結果(即 (b)(ii))是證明 S,T,F_1,F_2 共圓。

要代數地證明四點共圓,可利用行列式(determinant),見下:

(x_1 , y_1), (x_2 , y_2), (x_3 , y_3), (x_4 , y_4) 四點共圓當且僅當

為什麼?怕同學忘記,溫習一下。

「(x_1 , y_1), (x_2 , y_2), (x_3 , y_3), (x_4 , y_4) 四點共圓」,換言之,存在圓形(設)其方程如下:

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

使 (x_1 , y_1), (x_2 , y_2), (x_3 , y_3) 並(x_4 , y_4) 皆滿足上式。

亦即

現在「反客為主」,視 D, E, F 為未知數(unknowns),其他的 x, y為定值,那麼 (1, D, E, F) 就可視為以下線性方程組的解:

注意到上述方程組是齊次(homogeneous)的,又存在非平凡解(non-trivial solution)(1, D, E, F),由克萊瑪法則(Carmer’s rule),知

香港的中學同學或質疑,克萊瑪法則可否應用在 4 階行列式(determinant of order 4)?因為香港課程只涉及 3 階和 2 階的。

是,我們要弄清楚。起碼要展開 4 階或以上的行列式,不能運用Rule of Sarrus

正本清源,略談克萊瑪法則之來源。

先考慮 3 未知數 3 等式之情況。

設線性方程組為

A_1, A_2, A_3 分別是 a_1, a_2, a_3 的餘因式(cofactors)。

把上述方程組的第 i 式分別乘以 A_ii = 1,2,3),得

加起三式,得

同理得

y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta}

類似推廣,知克萊瑪法則亦可應用到更高階的情況。

好,回歸那道 AL 題目,不難知

S(at,bt), T(a/t,-b/t), F_1(ae,0), F_2(-ae,0)

其中 e 是離心率 eccentricity,對雙曲線來說,a^2e^2 = a^2 + b^2

現在,利用行列式檢驗一下它們是共圓否,見:

見第四列(column)全是 1,易於「造零」,得:

沿第四列展開,得

沿第三行(row)展開,得

最後一個等式為"a^2e^2 = a^2 + b^2"所致。

亦即,該四點共圓。

P.S. 這是代數的方法,那麼幾何的呢?

4 則迴響 »

  1. 為甚麼每次你都能寫那魔多的東西呢?

    迴響 由 Paul Lee — 2010/04/13 @ 7:06 下午 | 回覆

    • 如果時間容許,我希望能寫更多;只是在高手面前,我寫的根本全是廢話,盼君見諒。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/04/13 @ 7:26 下午 | 回覆

  2. 是否應為四點共圓或共線?

    迴響 由 Soarer — 2010/04/17 @ 12:10 上午 | 回覆

    • 謝謝提醒!Long time no see, Soarer!!

      迴響 由 johnmayhk — 2010/04/17 @ 9:43 下午 | 回覆


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