Quod Erat Demonstrandum

2010/05/08

無聊中四數學課紀錄:limits at infinity

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 7:21 下午

新高中數學 M2,似乎不可「飛書」。

談極限,其內容較附加數多而深,但教科書的「鷹架」略嫌不足。

由極限粗糙概念,到 limits at infinity 再到 Euler’s (Napier’s) number,好快。人云:「老師一小步,學生一大步」此言甚是。叻仔當然冇問題,但對其他大部份同學,相信會「學得好辛苦」,且他們是「坐」兩至三年的。

某天,就是一道普通的題

\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{9x - 4}{\sqrt{x^2 + 5x + 3}}

快快地,我教同學設 y = -x 處理,引發了一些討論,於是第二天弄些工作紙,彌補一下。

第一個問題:

我:「寫”x = \sqrt{x^2}”是錯的,同學,如何改善這樣的寫法?」

同學:「加正負號。」

我:「好一點,是寫”x = \pm\sqrt{x^2}” 嗎?足夠嗎?」

同學沒有反應,再問

我:「什麼時候取正號?什麼時候取負號?」

同學:「正數的時候。」

我:「嗯,那麼如何改善”x = \sqrt{x^2}”這個寫法?」

同學沒有反應(明白的)

我:「讓我先表達一下,什麼是 \sqrt{x^2},請問大家如何填充?(參下圖)」

同學:「第一個位填 positive number。」

我:「是這樣嗎?」

同學:「不是,是 x is positive number。」

我:「好好,那麼第二個位呢?」

同學:「x is negative number。」

我:「是這樣嗎?」

同學有些點頭。

我:「同學,如果你是數學老師,會給多少分數?一百分?」

同學沒有反應(明白的)

我:「那麼請問,\sqrt{0^2} 是什麼?」

同學:「正負零」(Oops,應該是 gag 來的嗎…)

我:「即是零。好,再看看剛才的表達(見下),大家覺得有沒有遺漏了什麼?」

同學:「零的情況。」

我:「那麼我們可以如何表達?」

同學自行寫在工作紙上:

我:「當然,還有一個『簡潔』表達 \sqrt{x^2} = |x|,但最重要是明白當中的意義。好了,剛才以 \sqrt{x^2} 為主角,現在讓我們以 x 為主角(make x as the subject)。同學,在空位處,你會如何填寫(見下)?」

我:「稍難一點,please fill in the following blanks:」

我:「小心,你的答案是以下的嗎?」

就這樣,我「浪費」了十五至二十分鐘。

我:「我們要把 x 變成 \sqrt{x^2}-\sqrt{x^2},好像把 x,推入根號之內。為何我們要做這樣的運算?」

比如要運算極限

\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{9x - 4}{\sqrt{2x^2 + 5x + 3}}
= \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(9x - 4)/x}{(\sqrt{2x^2 + 5x + 3}/x)}
= \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{9 - 4/x}{(\sqrt{2x^2 + 5x + 3}/x)}

把分母 \sqrt{2x^2 + 5x + 3}/x 變成 \sqrt{(2x^2 + 5x + 3)/x^2} 的時侯,我們就要小心。

因為

x > 0 時,\sqrt{2x^2 + 5x + 3}/x 等於 \sqrt{(2x^2 + 5x + 3)/x^2},但
x < 0 時,\sqrt{2x^2 + 5x + 3}/x 就會等於 -\sqrt{(2x^2 + 5x + 3)/x^2} 了。

好了,請同學計算以下的極限:

(a) \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{9x - 4}{\sqrt{2x^2 + 5x + 3}}
(b) \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{9x - 4}{\sqrt{2x^2 + 5x + 3}}

上述答案分別為

(a) \frac{9}{\sqrt{2}}
(b) -\frac{9}{\sqrt{2}}

好了,大家看到雖然題目有相同的表達式 \frac{9x - 4}{\sqrt{2x^2 + 5x + 3}},但當 x 接近正無限和負無限時,答案可能不同。

問題是,它們的答案是否一定相差一個負號,正如上述的 (a) 和 (b) 的答案一樣?

即是問

\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = -\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)" 這命題是否正確?

這樣又可以給同學探究一下,順便談談辯論技巧:舉一反三、以偏概全、枚舉、反例…

不過,只有少數同學舉手,大部分同學沒有反應(明白的)

要剛接觸極限的同學想這樣的問題,我也感到困難,於是我唯有慢慢引導。

我:「設 x 是實數,大家認為是否代入任何的 x,\sqrt{x - 1} 都可以『計到』實數?」

同學:「唔係,x 要大過 1。」

我:「OK,等於 1 也可。當 x 的值少於 1,\sqrt{x - 1} 就不是實數,即是你們說的 "math error"。」

我:「好,大家考慮表達式 \frac{1}{\sqrt{x - 1}},當 x 值接近正無限,它會接近什麼?當 x 值接近負無限,它又怎樣?」

希望同學看到

\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{x - 1}} = 0
\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{1}{\sqrt{x - 1}} 不存在。

從而
\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = -\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)" 這命題不一定正確。

我再給一道題:計算以下極限值

(i) \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{8}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}
(ii) \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{8}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}

看同學如何,當中運算也出現了不少錯誤,包括

\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{8}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}
=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{8/x}{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)/x}
= 0 因為分子 \frac{8}{x} 接近零。

這樣又引發一些改進。

上述兩題的答案為

(i) 8
(ii) 0

又一個反例(counter-example)推翻 "\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = -\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)

計算 (ii) 時,我問:「當 x < 0\sqrt{x^2 + 2x} 是否"math error"?」

這裡又引起一些討論,順便溫習二次不等式的東西。再加上一些計極限的 tricks,很快(在我眼中是很快,但在同學眼中未必),已經過了兩堂。

之後一天,就到介紹 Euler’s Number (Napier’s Number) e。

e = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n

這裡又有很多東西說。

著學生用計算機試試用大數值的 n,計一計 (1 + \frac{1}{n})^n 是什麼,以為可以讓他們「感受」到它大約是 2.718281828…,豈料,同學輸入 n = 10^{99},計算機顯示 1。出事,這樣就誤導了學生以為所謂"1^{\infty} = 1"這個錯誤。

同學:「代 n = 10000 就冇事 wor。阿 sir,點解?」

我們知道這是計算機的「問題」,但什麼「問題」?真的答不到了。

為讓他們看到不要依賴計算機的重要,我就快快證明,當 n > 1(1 + \frac{1}{n})^n 一定大於 2。黃同學問:「你點知 e 不能「突破」2.8?」好問題!但時間只容許我證明 e < 3,打鐘了。

好了,又過一堂。

[OT]

某天被觀課,我引用唐英年司長的話做教材:

「四成人支持保留功能組別,堅持廢除不符民主精神」
「過半數人支持通過政改方案,投票否決是不尊重民意。」

教什麼?Confidence interval for proportion 是也。(絕非教政治或思考方法之類,雖然當中的「矛盾」實在頗明顯。)

12 則迴響 »

  1. 哈哈,我計pure時倒從來沒考慮過這些正負的問題呢,難怪有時會算錯,感謝提點。

    當n很大時,用計算機算e的值會出現1而不是2.71828…的原因,
    我猜是計算機算完1+1/n後,記憶體只能保存的值為1.0000……000
    由於trunction error,(1.0000……000)^n的結果就會是1而非2.718…

    迴響 由 — 2010/05/09 @ 1:42 上午 | 回覆

    • 羊:係 wor,當 n 值超大,計算機只能把 1 + 1/n 變成 1。謝謝!

      迴響 由 johnmayhk — 2010/05/09 @ 3:57 下午 | 回覆

  2. John Sir:
    你開方x的幾條題目給我不少啟示
    謝謝!

    迴響 由 皮旦 — 2010/05/09 @ 9:06 下午 | 回覆

  3. 個人意見
    教科書的鷹架不足
    可見出版者對數學科的觀念仍然離不開以前amaths評核"只求計算步驟及答案"的影子

    迴響 由 皮旦 — 2010/05/09 @ 9:09 下午 | 回覆

  4. The error obtained by substituting 10^99 is the round-off error of the calculators. They keep finite number of digits. In HKCEE 2008 Paper 2 Q.1, students are asked to find (1/2)^888 * (-2)^887, 48% of the candidates choose “0” to be the answer. This is because the calculator gives this answer. Some of my students ask me why “0” is incorrect as they believe the calculator always give correct answer.
    I have set an MC question to test my students in the exam:
    123456789^2 – 123456787^2 =
    A. 493800000
    B. 493827200
    C. 493827160
    D. 493827152
    Fortunately, there were still 20% of the students gave the correct answer (most of them are science students). Different models of calculator will give different answer as the latest model keeps more digits in calculation. To answer this question, we can simply check the unit digit. The answer is D.

    迴響 由 Cheung — 2010/05/14 @ 2:16 下午 | 回覆

    • Thank you Cheung for your reminder!

      迴響 由 johnmayhk — 2010/05/15 @ 1:20 下午 | 回覆

    • Forget to say, the question you’d created was a GOOD one! Thanks!!

      迴響 由 johnmayhk — 2010/05/20 @ 9:00 上午 | 回覆

  5. 對於把x 推入開方號的轉正負問題,我都曾經想問過,不過礙於我的表達能力差,問了, john sir都唔明我問乜

    迴響 由 兆峰 — 2010/05/31 @ 10:22 下午 | 回覆

    • Really? 印象模糊,相信是我的接收力出了問題,sorry。

      迴響 由 johnmayhk — 2010/05/31 @ 10:34 下午 | 回覆

  6. I used binomial theorem to prove e > 1. Is it correct?

    迴響 由 Bruce Leung — 2010/09/19 @ 1:10 上午 | 回覆

  7. sorry, not e>1, but e > 2.

    迴響 由 Bruce Leung — 2010/09/19 @ 9:48 上午 | 回覆

    • Yes, it is quite trivial.

      迴響 由 johnmayhk — 2010/09/19 @ 9:49 下午 | 回覆


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