Quod Erat Demonstrandum

2010/05/11

無聊中四數學課紀錄:(1 + 1/n)^n

Filed under: NSS,Teaching — johnmayhk @ 10:57 下午
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為熟習

e = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n

上課時,我給同學想想

(a) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{2n})^{2n} = ?

(b) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^{2n} = ?

(c) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{2n})^{n} = ?

(d) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^{2} = ?

(e) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{2})^{n} = ?

(f) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n + 1})^{n - 1} = ?

(g) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{3}{2n})^{n} = ?

(h) \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n - 1})^{3 - 4n} = ?

不是所有中四的同學都輕易完成上述提問,當中出現一些運算和概念問題。

比如處理 (f),

[method 1]

\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n + 1})^{n - 1}
= \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(1 + 1/(n + 1))^{n + 1}}{(1 + 1/(n + 1))^2} … … … (1)
= \frac{\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + 1/(n + 1))^{n + 1}}{\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + 1/(n + 1))^2} … … … (2)
= \frac{e}{1} = e

同學跳過 (2) 直接寫答案,當然可以。但若同學問為何 (1) 可以到 (2) 呢?

[method 2]

\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n + 1})^{n - 1}
= \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n + 1})^{(n + 1)(n - 1)/(n + 1)}
= \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}[(1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1}]^{(n - 1)/(n + 1)} … … … (3)
= \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}[(1 + \frac{1}{n + 1})^{n + 1}]^{\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(n - 1)/(n + 1)} … … … (4)
= e^1 = e

同學跳過 (4) 直接寫答案,當然可以。但若同學問為何 (3) 可以到 (4),是否答:因為兩者之極限皆存在,所以可以「拆」?當然我們知道,這和函數在某處連續有關,不過現在的「指引」只要求同學看圖象來判別是否連續。

舉一個可能不太恰當的舊例:

\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(-1)^{\frac{1}{n}} = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(-1)^{\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}} = (-1)^0 = 1

還是

因為當 n = 2m (m \in \mathbb{N})(-1)^{\frac{1}{n}} 不存在,故 \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(-1)^{\frac{1}{n}} 根本不存在?

返回基本,對於以下命題

e = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n

我提同學:

1. n 不一定是正整數,n 是實數也可。
2. n 不只趨向正無窮,趨向負無窮也可,即 \displaystyle\lim_{n \rightarrow -\infty}(1 + \frac{1}{n})^n 也是 e。

為何我要提?因為教科書隨之證明:

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1

其中要經由計算以下極限

\displaystyle\lim_{y \rightarrow 0}(1 + y)^{\frac{1}{y}}

用的方法是設

z = \frac{1}{y}

\displaystyle\lim_{y \rightarrow 0}(1 + y)^{\frac{1}{y}}
= \displaystyle\lim_{z \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{z})^z … … … … (5)
= e … … … … (6)

問題來了,

\displaystyle\lim_{y \rightarrow 0}(1 + y)^{\frac{1}{y}}

當中的所謂「y 接近零」,即 y 可以是正,亦可以是負。(即 y 可以接近零正,亦可接近零負。)且實數 y 不一定以 \frac{1}{n} 形式出現,如果以為

e = \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n

只對整數 n 趨向正無窮才正立,我們是不能由 (5) 過渡到 (6)。

確實,黃同學曾經問過,設 z = \frac{1}{y},當 y 值接近 0 時,z 值接近什麼。
(答曰:\displaystyle\lim_{y \rightarrow 0+} z \rightarrow +\infty\displaystyle\lim_{y \rightarrow 0-} z \rightarrow -\infty,一言敝之曰:does not exist)

另外,張同學問,以下的證明可行否:

\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x - 1}{x}
= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ... - 1)/x
= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...)/x
= \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + ...)
= 1

(因除第一項,以後各項皆趨於零)

對中四同學,我只能用類比。透過以下例子

\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n^2} \neq 0 + 0 + 0 + \dots + 0 = 0(正確極值是 \frac{1}{2},不是零。)

帶出無窮個無窮小量總和不一定是零。

如何不借助諸如「收斂」之類名詞,而好好向中四的同學解釋?

另一個同學可能會問的:

e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots

如何過渡到

e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots

也不太輕易地向中四的同學講解。

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