Quod Erat Demonstrandum

2010/05/16

空集族

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 11:38 下午
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同學,先溫習一下兩個集的運算(operations on sets):聯集(union)和交集(intersection)。

舉例,命

A_1 = \{ a,b,c,d \}
A_2 = \{ b,c,d,e \}
A_3 = \{ c,d,e,f \}

則聯集 A_1 \cup A_2 \cup A_3,即三個集的聯合部份是

A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{ a,b,c,d,e,f \}

A_1 \cup A_2 \cup A_3 可記為

\displaystyle \bigcup_{i \in \{1,2,3\}}A_i

或進一步簡化為

\displaystyle \bigcup_{i \in I}A_i 其中 I = \{1,2,3\} 可被稱為指標集(index set),作用是告訴觀眾,i 的取值如何。

而交集 A_1 \cap A_2 \cap A_3,即三個集的共有部份,如本例

A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{ c,d \}

利用指標集,交集 A_1 \cap A_2 \cap A_3 亦可表達成

\displaystyle \bigcap_{i \in I}A_i 其中 I = \{1,2,3\}

(A_i)_{i \in I} 是集 A 的一個集族(family of subsets of the set A),即是說,對於所有 i \in IA_i 都是集 A 的子集(subset)。

之前科主任告訴我,在"Elementary set theory"這本中學數學參考書中,略談了空集族(empty family of subsets)。

可參閱該書的網上版(P.69)
http://books.google.com.hk/books?id=cdmy2eOhJdkC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false

當中出現了以下關係:設 (A_i)_{i \in I} 是集 A 的集族,

\displaystyle \bigcup_{i \in \varnothing}A_i = \varnothing\displaystyle \bigcap_{i \in \varnothing}A_i = A

初看感有趣:

空集的交集,當然是空集;但
空集族的交集,卻是整個 A。(\displaystyle \bigcap_{i \in \varnothing}A_i = A

本文希望略略說明一下而已,諸君見諒。

先看聯集 \displaystyle \bigcup_{i \in I}A_i 之定義。

\displaystyle \bigcup_{i \in I}A_i := \{x \in A | x \in A_i \mbox{  for some  } i \in I\}

可見,x\displaystyle \bigcup_{i \in I}A_i 內的條件是

若「I 中存在某個 i 使 xA_i 內」則「x\displaystyle \bigcup_{i \in I}A_i 內」。

若取指標集 I 為空集 \varnothing,我們可考慮空集族之聯集

\displaystyle \bigcup_{i \in \varnothing}A_i := \{x \in A | x \in A_i \mbox{  for some  } i \in \varnothing\}

可見,x\displaystyle \bigcup_{i \in \varnothing}A_i 內的條件是

若「\varnothing 中存在某個 i 使 xA_i 內」則「x\displaystyle \bigcup_{i \in \varnothing}A_i 內」。

但必定沒有一個 x 滿足

\varnothing 中存在某個 i 使 xA_i 內」

因為 \varnothing 中不存在任何東西,即不會存在某個 i 使 xA_i 內。

\displaystyle \bigcup_{i \in \varnothing}A_i = \varnothing

好了,讓我們看交集 \displaystyle \bigcap_{i \in I}A_i 之定義。

\displaystyle \bigcap_{i \in I}A_i := \{x \in A | x \in A_i \mbox{  for all  } i \in I\}

那麼,x\displaystyle \bigcap_{i \in I}A_i 內的充要條件是

若「對於所有在 I 中的 i」則「x 都在 A_i 內」。

或重述為

若「i \in I」則「x \in A_i」。

若取指標集 I 為空集 \varnothing,我們可考慮空集族之交集

\displaystyle \bigcap_{i \in \varnothing}A_i := \{x \in A | x \in A_i \mbox{  for all  } i \in \varnothing\}

可見,x\displaystyle \bigcap_{i \in \varnothing}A_i 內的充要條件是

若「i \in \varnothing」則「x \in A_i」 … … … (*)

但在 A 中的任何元素 x 都會滿足上述條件 (*),因為 (*) 是邏輯上真的命題。

何解?

注意,(*) 乃屬「若 P 則 Q」類型的複合命題。當中 P 就是「i \in \varnothing」,此前提不真,因為空集 \varnothing 不存在任何東西,亦即沒有所謂 i 在它內。修純數的同學知道,如果前提 P 不真,則「若 P 則 Q」是真。隨意舉例:命題「若太陽由西方升起,則阿 John 會中六合彩」必真,因為只有當「太陽由西方升起」(即 P 真)而「阿 John 會沒有中六合彩」(即 Q 假)時,命題才是假;否則,其他情況(包括「P 真 Q 真」、「P 假 Q 真」及「P 假 Q 假」)命題都是真。(參考 Vacuous truth

既然 A 中的任何 x 都滿足 (*),即 A 中的任何 x 都滿足「在 \displaystyle \bigcap_{i \in \varnothing}A_i 內」的充要條件,是故

\displaystyle \bigcap_{i \in \varnothing}A_i = A

若沒有指明宇集(universal set)是什麼,即沒有指定 x 來自什麼集,則空集族的交集無定義。

(寫於水運會睇水時)

4 則迴響 »

  1. 個人感覺:內容很有趣
    但是感覺上以natural number set以外的set來定義indexed set感覺上會有點奇怪。
    我覺得Indexed set的應用好像是要有"可數"的才會有意義XD

    迴響 由 Justin — 2010/05/17 @ 10:22 下午 | 回覆

    • Thank you Justin for your reading and comments!

      It seems that index sets are not restricted to be subsets of \mathbb{N}, it makes sense for a set indexed by uncountable set.

      迴響 由 johnmayhk — 2010/05/18 @ 7:45 上午 | 回覆

  2. 嘩…John Sir! 無意中先發現原來這個網誌係你開!我係你以前MATH AND Applied Math的學生,今年都大學畢業啦。之前係這個網download下 D exercise for 補習學生!btw, work hard on ur career path. May God bless you!

    迴響 由 Eric — 2010/05/19 @ 11:36 下午 | 回覆

    • Hi,Eric!

      濟記人唔多知道我寫網誌,估唔到在下咁低調都比你知道!

      提提你,濟記五十五周年開放日定於 2010-10-30 和 2010-10-31,晚宴在 2010-12-03,睇下你地得唔得閒返來探下我地啦!

      迴響 由 johnmayhk — 2010/05/20 @ 8:54 上午 | 回覆


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