Quod Erat Demonstrandum

2010/05/22

兩個無言證明

早前網友電郵分享了一個關於海倫公式(Heron’s formula)的「無言證明」(Proof without words)。無言證明者:一看就明,無須多言。

利用兩個引理,得出公式。

引理一K = rs

其中,
K = 三角形面積,
r = 內切圓(incircle)半徑,
s = 半周界(即 \frac{a + b + c}{2}

一看下圖,證完。

引理二:設正數 \alpha, \beta, \gamma,若 \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2},則

\tan \alpha \tan \beta + \tan \beta \tan \gamma + \tan \gamma \tan \alpha = 1

證明?修附加數或 M2 的同學,利用複角公式輕易證明。但也可以一看下圖,立即得到結果。

利用引理一和二,把 x, y, z\alpha, \beta, \gamma 拉上關係,見

輕易得出海倫公式,即 K = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

詳見

http://johnng.inscyber.net/proof-without-words-heron.pdf

文末提到,若圓內接四邊形,本身存在內切圓,見下

則該四邊形的面積是 \sqrt{abcd}

證明簡單,對於圓內接四邊形,易知對邊邊長總和,等於另一對對邊長總和,即

a + c = b + d

另外,因 a + b + c + d = 2s,得

a + c = sb + d = s … … … (1)

現在,圓內接四邊形面積

= \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}
= \sqrt{abcd} (by (1))

Q.E.D.

另一篇亦是出自 Roger B. Nelsen 的手筆,談到有關 Euler’s Triangle Inequality 的無言證明:

R \ge 2r

其中 R, r 分別是三角形的外接圓(circumcircle)和內切圓(incircle)之半徑。

當然若知 d^2 = R(R - 2r),(其中 d 是外接圓和內切圓兩個圓心之距離),立即得到 R \ge 2r。但當中的無言證明也是有趣的,詳見

http://johnng.inscyber.net/proof-without-words-euler-inequality.pdf

[OT] 寫 Blog 有好處,可以認識網友。偶爾收到他們的電郵分享和交流數學或其他,甚為喜樂!

2 則迴響 »

  1. 老師:
    我目前剛升高一,但資質中庸,第一個證明我不甚了解能否麻煩老師幫我解惑?

    迴響 由 陳秀豪 — 2015/07/20 @ 10:39 下午 | 回覆

    • 你指「引理一」?

      如是這,把左圖的大三角形分六個小三角形(每個都是直角三角形)後,可砌成右圖的長方形。

      所以大三角形面積 K,就是長方形面積 r(x+y+z);即

      K=rs(因為 s 是大三角的「半周界」。)

      迴響 由 johnmayhk — 2015/07/21 @ 10:27 上午 | 回覆


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