Quod Erat Demonstrandum

2010/06/16

單增區域

Filed under: HKALE,Pure Mathematics — johnmayhk @ 12:37 上午
Tags: ,

又是溫習純數的時間。參考下圖。

直觀地,函數在區間上是單增(strictly increasing)的。

那麼,若 f(x) 在區間上可導(differentiable),則對於區間內任何一點 a,恆有

f'(a) > 0

(見圖)

但逆向地,已知

f'(a) > 0

那麼,是否一定存在一個包含 a 的開區間,使 f(x) 在該區間上是單增?

不一定。

考慮

f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 \hspace{31 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x = 0\\x + 2x^2\sin \frac{1}{x} \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} x \ne 0\end{array}\right.

首先,f'(0) > 0

證明一下:

f'(0)
= \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(h) - f(0)}{h}
= \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h + 2h^2\sin (1/h)}{h}
= \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}(1 + 2h\sin (1/h))
= 1

但不存在包含 0 的開區間,使 f(x) 在該區間上是單增。

為何?

計一計,當 x \ne 0 時,

f'(x) = 1 - 2\cos \frac{1}{x} + 4x\sin \frac{1}{x}

考慮 a = \frac{1}{2n\pi},其中 n \in \mathbb{N}

f'(a) = 1 - 2\cos(2n\pi) = -1

即是說,當 n 值愈來愈大,a 愈來愈接近 0,且

f'(a) < 0

亦即是說,在 0 附近,無論多接近 0,總出現一些 a 值,使

f'(a) < 0

所以,不存在包含 0 的開區間,使 f(x) 在該區間上是單增;

因為如果真的存在所謂單增區間,則對於區間中的任何 a 值,恆有 f'(a) > 0(不可能有 f'(a) < 0 出現)。

同學,嘗試用繪圖軟件等等把 y = f(x) 的圖像繪出來,看看它是怎樣。

順道貼貼另一個單從直觀不能立時得知的結果:

f(2x) \equiv 2f(x),那麼 f(x) 一定是 kx (k 是常數)這種「形態」嗎?

http://www.hkms-nss.net/discuz/home/space.php?uid=423&do=blog&id=37

[SBA]

上例用了 \tan,大家可否利用 \sin\cos 做出相同效果?

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