Quod Erat Demonstrandum

2010/06/18

無聊二進數

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 3:14 下午

監中文考試時,為測試某數法,我隨便考慮某二進小數:

0.10111\dots _{(2)}

竟然失敗,

0.10111\dots _{(2)}
= \frac{1}{2} + (\frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \dots)
= \frac{1}{2} + \frac{1/8}{1 - 1/2}
= \frac{3}{4}

反覆檢查,才發覺問題是因為

0.11_{(2)} 也是 \frac{3}{4},即 0.11_{(2)} = 0.10111\dots _{(2)}

小數的表達不是唯一,比如熟知的

1 = 0.999\dots

9 是 10 進制中最大數碼,類似地

1 是 2 進制中最大數碼,應有

1 = 0.111\dots_{(2)}

驗算一下

0.111\dots
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots
= \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1

果然是。

同理

1 = 0.222\dots _{(3)}
1 = 0.333\dots _{(4)}
1 = 0.555\dots _{(6)}

也易知,若 2 進小數位出現全部 1,可以 「進位」變成 1,即

0.0111\dots _{(2)} = 0.1_{(2)}
0.101000111\dots _{(2)} = 0.101001_{(2)}

等等。

某數法也可涉及把 \sqrt{2} 轉化成二進小數,上網容易,點擊以下網址

http://www94.wolframalpha.com/

輸入

sqrt(2) to base 2

一按 enter,立即得出:

\sqrt{2} = 1.011010100001... _{(2)}

因獨自吃午飯時無聊,我徒手計算如下:

\sqrt{2} = 1.414213562... = 1 + 0.414213562...

觀看 digit 一欄,得出

\sqrt{2} = 1.0110101000... _{(2)}

外星授課員報告完畢。

4 則迴響 »

  1. 外星授課員/SOSAD

    迴響 由 FTL — 2010/06/23 @ 2:57 上午 | 回覆

  2. 我痛恨十進位,巴不得全部改成十六進位。

    迴響 由 Yee — 2010/06/24 @ 12:24 下午 | 回覆

  3. 十進位在數學上沒有意義,在工程上不方便。
    十六進位與二進位有關聯,在數學上與工程上都有好處。

    迴響 由 Yee — 2010/07/05 @ 9:19 上午 | 回覆


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