Quod Erat Demonstrandum

2010/08/28

直線方程

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 8:57 下午

或許「試解釋為何 1/2 + 1/3 等於 5/6。」可以成為中一數學科口試題目。幾天前梁同學問的,也可設為中三數學科口試考題。

他問:「直線 Ax + By + C = 0 的斜率,為何是 -\frac{A}{B}?老師把方程寫為 y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B},之後比較 y = mx + c,說因為 m 就是斜率,所以斜率就是 -\frac{A}{B}。但為何可如此『比較』?因為 y = mx + c 的來源是:有一個 y-intercept,有一個斜率,才得出 y = mx + c;但 Ax + By + C = 0 卻不一定由 y-intercept 和斜率而來。」 (more…)

2010/08/20

P/NP

Filed under: Report,University Mathematics — johnmayhk @ 11:28 上午

P/NP問題是在理論信息學中計算複雜度理論領域裡至今沒有解決的問題,它被「克雷數學研究所」(Clay Mathematics Institute,簡稱CMI)在千禧年大獎難題中收錄。

摘自

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/P/NP%E9%97%AE%E9%A2%98

新近的相關報導:

http://www.nytimes.com/2010/08/17/science/17proof.html?_r=1

2010/08/19

國際數學家大會 2010-08-19 至 2010-08-27

Filed under: Report — johnmayhk @ 9:34 上午

http://www.icm2010.org.in/

http://en.wikipedia.org/wiki/International_Congress_of_Mathematicians

我校開放日數學科,暫定其中一個主題:未來數學,同學或許找到一些點子吧。

2010/08/01

答中四同學包

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:22 上午

包,參考下:

1.

Find \frac{dy}{dx} of the following from first principles.

(a) y = \tan x
(b) y = xe^x

似乎有點「走火入麼」了。算,照做。

(a)

\frac{dy}{dx}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\tan (x + \Delta x) - \tan x}{\Delta x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}(\frac{\sin (x + \Delta x)}{\cos (x + \Delta x)} - \frac{\sin x}{\cos x})
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} \frac{\sin (x + \Delta x)\cos x - \cos (x + \Delta x)\sin x}{\cos (x + \Delta x) \cos x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} \frac{\sin (x + \Delta x - x)}{\cos (x + \Delta x) \cos x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \frac{1}{\cos (x + \Delta x) \cos x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x + \Delta x) \cos x}
= \frac{1}{\cos x \cos x}
= \sec^2x

(b)

\frac{dy}{dx}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x + \Delta x)e^{x + \Delta x} - xe^x}{\Delta x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x + \Delta x)e^xe^{\Delta x} - xe^x}{\Delta x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{e^x((x + \Delta x)e^{\Delta x} - x)}{\Delta x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{e^x(xe^{\Delta x} + \Delta xe^{\Delta x} - x)}{\Delta x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{e^x(x(e^{\Delta x} - 1) + \Delta xe^{\Delta x})}{\Delta x}
= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}e^x(x(\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}) + e^{\Delta x})
= e^x(x(1) + 1)
= (x + 1)e^x

又或者用證明 product rule 那招,即考慮

(x + \Delta x)e^{x + \Delta x} - xe^x
= (x + \Delta x)e^{x + \Delta x} - xe^{x + \Delta x} + xe^{x + \Delta x} - xe^x

比較有系統地解之。

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