# Quod Erat Demonstrandum

## 2010/08/01

### 答中四同學包

Filed under: NSS — johnmayhk @ 9:22 上午

1.

Find $\frac{dy}{dx}$ of the following from first principles.

(a) $y = \tan x$
(b) $y = xe^x$

(a)

$\frac{dy}{dx}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\tan (x + \Delta x) - \tan x}{\Delta x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}(\frac{\sin (x + \Delta x)}{\cos (x + \Delta x)} - \frac{\sin x}{\cos x})$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} \frac{\sin (x + \Delta x)\cos x - \cos (x + \Delta x)\sin x}{\cos (x + \Delta x) \cos x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x} \frac{\sin (x + \Delta x - x)}{\cos (x + \Delta x) \cos x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \frac{1}{\cos (x + \Delta x) \cos x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos (x + \Delta x) \cos x}$
$= \frac{1}{\cos x \cos x}$
$= \sec^2x$

(b)

$\frac{dy}{dx}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x + \Delta x)e^{x + \Delta x} - xe^x}{\Delta x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x + \Delta x)e^xe^{\Delta x} - xe^x}{\Delta x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{e^x((x + \Delta x)e^{\Delta x} - x)}{\Delta x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{e^x(xe^{\Delta x} + \Delta xe^{\Delta x} - x)}{\Delta x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{e^x(x(e^{\Delta x} - 1) + \Delta xe^{\Delta x})}{\Delta x}$
$= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}e^x(x(\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}) + e^{\Delta x})$
$= e^x(x(1) + 1)$
$= (x + 1)e^x$

$(x + \Delta x)e^{x + \Delta x} - xe^x$
$= (x + \Delta x)e^{x + \Delta x} - xe^{x + \Delta x} + xe^{x + \Delta x} - xe^x$

## 3 則迴響 »

1. (a),(b) part入面都用了一些fact, e.g. lim sinx/x = 1 in (a)及l’hospital in (b)
現在NSS也要學這些東西吧？

題外話：john sir,我依家係教育局做緊intern,聽到D人開會討論緊邊D應該教，邊D唔應該，口氣上好像還未和考評局定好所有東西。。。

迴響 由 Justin — 2010/08/01 @ 2:11 下午 | 回應

• 以下文件第 72 頁，在 section 6.2 的 remark 記

http://www.edb.gov.hk/FileManager/EN/Content_6157/c2.pdf

The following formulae are required:

$\displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$

但記在教科書的相關證明，不敢恭維，見

>…好像還未和考評局定好所有東西

不奇怪吧，不斷出指引吧，始終是新生事物。

公開試的擬題者，未必一定是清楚掌握課程發展（背後理念）的人。

做 intern 好玩嗎？你主要負責什麼？（唔方便，可以唔答的 ^_^）

迴響 由 johnmayhk — 2010/08/01 @ 11:24 下午 | 回應

• 幾好玩，我主要負責\LaTeX{}的東西，至於詳情見面時再詳談

迴響 由 Justin — 2010/08/02 @ 9:05 下午