Quod Erat Demonstrandum

2010/08/28

直線方程

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 8:57 下午

或許「試解釋為何 1/2 + 1/3 等於 5/6。」可以成為中一數學科口試題目。幾天前梁同學問的,也可設為中三數學科口試考題。

他問:「直線 Ax + By + C = 0 的斜率,為何是 -\frac{A}{B}?老師把方程寫為 y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B},之後比較 y = mx + c,說因為 m 就是斜率,所以斜率就是 -\frac{A}{B}。但為何可如此『比較』?因為 y = mx + c 的來源是:有一個 y-intercept,有一個斜率,才得出 y = mx + c;但 Ax + By + C = 0 卻不一定由 y-intercept 和斜率而來。」

非常感謝梁同學的問題,因為他就是不滿死記公式,不滿知其然而不知其所以然。

口試考題一:初中同學,你會如何解答梁同學的提問?

當天我向梁同學解釋,進路是要他拋棄死記什麼什麼 forms,由給定兩點找斜率,到給定直線方程,著他用自己方法找斜率;由給定 y-intercept 和斜率得直線方程 y = mx + c,到逆向地,給定 y = mx + c 而找出(非死記出)它的斜率。進而給定 Ax + By + C = 0 來找出(非死記出)它的斜率。

他也似乎明白了;我以另一個相關問題挑戰他:

「為何 2x + 4y = 6y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} 代表同一線直線?」

(甚至可以聽一聽小學同學解釋,為何 \frac{2}{4} 即是 \frac{1}{2}。)

口試考題二:初中同學,你會如何解答?

多年前,歐同學剛剛接觸(附加數課程內容中的)兩平行線

Ax + By + C_1 = 0 ………. (1)
Ax + By + C_2 = 0 ………. (2)

之距離的公式,問:

從 (1) 和 (2),我們豈不是得到

C_1 = -Ax - By
C_2 = -Ax - By

進而得出 C_1 = C_2?好像有點奇怪。

可見,同學對方程的了解掌握不夠,是授課員出擊之良機。

(注:那同學後來取了電腦科學的 PHD,數學的成績當然非常優異。)

口試考題三:初中同學,試回應歐同學的疑問。

舊同事的意見:「學生出現概念問題,係咪你教得差?」這是我經常自省的。

1 則迴響 »

  1. 我也要經常反省, 偶爾也會說錯一些很基本的概念……

    迴響 由 joesir — 2010/09/03 @ 1:53 下午 | 回覆


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