Quod Erat Demonstrandum

2010/09/03

因式分解 x^n – 1

Filed under: Pure Mathematics — johnmayhk @ 1:06 下午

中學時代的數學參考書 Methods of A-Level Pure Mathematics (Volume 1) 記載了以下問題。

觀察

x^2 - 1 \equiv (x - 1)(x + 1)
x^3 - 1 \equiv (x - 1)(x^2 + x + 1)
x^4 - 1 \equiv (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
x^5 - 1 \equiv (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
x^6 - 1 \equiv (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)

\dots

1938 年,柴巴塔洛夫(Tschebotarev)猜想:對於任何正整數 n,x^n - 1 的因式(factor)不存在大於 1 或少於 -1 的係數(coefficients)。這個對嗎?

同學,試使用

http://www.wolframalpha.com/

在輸入欄(見下)

輸入

factorize x^105 – 1

一按 Enter,看看得到什麼。竟然有因子出現 -2x^7-2x^{41}。這是在 1941 年伊凡諾夫(Ivanov)發現的。

聞說當 n 少於 105,或 n 是質數時,x^n - 1 的因式(factor)真的不存在大於 1 或少於 -1 的係數。

如果考試可以上網,諸如

因式分解 x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz

之類的題目,找 WolframAlpha 代勞,就再不是問題了。

1 則迴響 »

  1. Hi,

    It is good to see that HK Mathematics requires students to develop investigative skills :)

    Cheers,
    Wen Shih

    迴響 由 Wen Shih — 2010/09/05 @ 12:43 下午 | 回覆


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