Quod Erat Demonstrandum

2010/09/24

簡單的初中直線題目

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:03 下午

這是中三的直線方程題目。

1. Given that A(4,-9), B(-4,-3), C(5,9), find the coordinates of the

(a) centroid(形心);
(b) orthocenter(垂心) and
(c) circumcenter(外心) of \Delta ABC.

(a) centroid = (\frac{4-4+5}{3} , \frac{-9-3+9}{3}) = (\frac{5}{3},-1)

有公式,不難。至於 (b), (c),如果知道 \angle ABC = 90^o,立即知

(b) orthocenter = B = (-4,-3)

(c) circumcenter = mid-point of A and C = (\frac{4+5}{2},\frac{-9+9}{2}) = (\frac{9}{2},0)

\Delta ABC 是直角三角形,毫無煩瑣運算,否則…

2. Given that A(0,-20), B(-2k,k), C(40,15). Suppose AB \perp BC, find the value of k.

一般題目,但想看看解題步驟。

ABBC 互相垂直,得

\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2k-40} = -1 ………. (*)

\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2(k+20)} = -1

看到了公因式 (k+20),約之,得

\frac{1}{-2k} \frac{k-15}{-2} = -1

化簡,得

k = 3

但這不是正確答案。

另一個做法,由 (*) 出發,但不約簡,而是「爆散」,即

\frac{k^2 + 5k - 300}{4(k^2 + 20k)} = -1

5k^2 + 85k - 300 = 0

k^2 + 17k - 60 = 0

(k - 3)(k + 20) = 0

即,k = 3 or k = -20

這才是正確答案,但似乎有少少問題要弄清。

k = 3 or k = -20」真的是 (*) 的解(solution)嗎?

當代入 k = -20,(*) 的 L.H.S. 是無定義(undefined)的。

所以,k = -20 並不是 (*) 的解

雖然如此,k = -20 真的是原來題目的答案。

這裡有一個經常強調要學生注意之處:

「兩直線之斜率積(product of slopes)等於 -1」,定可推論「該兩線互相垂直」。

但,

「兩直線互相垂直」,未必一定可以推論「該兩線之斜率積等於 -1」,因為當其中一條線是垂直線時,斜率是無意義的,即無法得出斜率積等於 -1 這個情況。

所以,上述解題的第一步寫

『因 AB 和 BC 互相垂直,得

\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2k-40} = -1 ………. (*)』

不是太準確,應該寫:

『因 AB 和 BC 互相垂直,得

\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2k-40} = -1 (where k \ne -20)』

之後,比較好的是循第一個方法,約走公因式,得 k = 3

隨後,說明當 k = -20,AB 的斜率是零,故 AB 是水平線;而 BC 是垂直線,所以 k = -20 也滿足題目要求。

故答案是 k = 3 or k = -20

1 則迴響 »

  1. You do not have to expand, here is a simpler way,

    [(k + 20)/-2k][(k – 15)/-2(k + 20)] = -1
    So, (k + 20)(k – 15) = -4k(k + 20)
    Hence, (k + 20)[k – 15 + 4k] = 0
    Therefore, (k + 20)(k – 3) = 0.

    迴響 由 apook — 2010/09/26 @ 1:55 上午 | 回覆


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 變更 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 變更 )

Facebook照片

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 變更 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 變更 )

連結到 %s

在WordPress.com寫網誌.

%d 位部落客按了讚: