# Quod Erat Demonstrandum

## 2010/09/24

### 簡單的初中直線題目

Filed under: Junior Form Mathematics — johnmayhk @ 1:03 下午

1. Given that $A(4,-9), B(-4,-3), C(5,9)$, find the coordinates of the

(a) centroid（形心）;
(b) orthocenter（垂心） and
(c) circumcenter（外心） of $\Delta ABC$.

(a) centroid = $(\frac{4-4+5}{3} , \frac{-9-3+9}{3})$ = $(\frac{5}{3},-1)$

(b) orthocenter = B = $(-4,-3)$

(c) circumcenter = mid-point of A and C = $(\frac{4+5}{2},\frac{-9+9}{2})$ = $(\frac{9}{2},0)$

$\Delta ABC$ 是直角三角形，毫無煩瑣運算，否則…

2. Given that $A(0,-20), B(-2k,k), C(40,15)$. Suppose $AB \perp BC$, find the value of $k$.

$AB$$BC$ 互相垂直，得

$\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2k-40} = -1$ ………. (*)

$\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2(k+20)} = -1$

$\frac{1}{-2k} \frac{k-15}{-2} = -1$

$k = 3$

$\frac{k^2 + 5k - 300}{4(k^2 + 20k)} = -1$

$5k^2 + 85k - 300 = 0$

$k^2 + 17k - 60 = 0$

$(k - 3)(k + 20) = 0$

$k = 3$ or $k = -20$」真的是 (*) 的解（solution）嗎？

「兩直線之斜率積（product of slopes）等於 $-1$」，定可推論「該兩線互相垂直」。

「兩直線互相垂直」，未必一定可以推論「該兩線之斜率積等於 $-1$」，因為當其中一條線是垂直線時，斜率是無意義的，即無法得出斜率積等於 $-1$ 這個情況。

『因 AB 和 BC 互相垂直，得

$\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2k-40} = -1$ ………. (*)』

『因 AB 和 BC 互相垂直，得

$\frac{k+20}{-2k} \frac{k-15}{-2k-40} = -1$ （where $k \ne -20$）』

## 1 則迴響 »

1. You do not have to expand, here is a simpler way,

[(k + 20)/-2k][(k – 15)/-2(k + 20)] = -1
So, (k + 20)(k – 15) = -4k(k + 20)
Hence, (k + 20)[k – 15 + 4k] = 0
Therefore, (k + 20)(k – 3) = 0.

迴響 由 apook — 2010/09/26 @ 1:55 上午 | 回應