Quod Erat Demonstrandum

2010/10/06

教學碎念

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 3:22 下午

1.

第一次測 pure math,全班 34 人,及格者 32(注:缺席者 1 人),最高分者 36 (out of 38),甚喜。

(他們笑我出卷容易,因自己功力有限,我求他們見諒。)

部份題目,學生也可提供不錯的解,比如

Resolve \frac{2x + 3}{x^2(x+3)^2} into partial fractions.

同學給的答案是

\frac{1}{x(x+3)} \equiv \frac{1}{3}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3})
\frac{d}{dx}\frac{1}{x(x+3)} \equiv \frac{1}{3}\frac{d}{dx}(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+3})
\frac{2x + 3}{x^2(x+3)^2} \equiv \frac{1}{3}(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x+3)^2})

2.

也是 pure math 堂,遇上 binomial theorem 一課中的某習題:

For integer n, prove that 9^n + 10^n < 11^n iff n \ge 5.

不用 binomial theorem 也可(參下文)證之,但用 binomaial theorem,我停在下面

11^n - 9^n
= (10+1)^n - (10-1)^n
= 2(C_1^n10^{n-1} + C_3^n10^{n-3} + C_5^n10^{n-5} + \dots)

還錯誤地行了以下一步

= 2(C_1^n10^{n-1} + C_3^n10^{n-3} + C_5^n10^{n-5} + \dots)
< 2(C_1^n10^{n-1} + C_3^n10^{n-1} + C_5^n10^{n-1} + \dots)
= 2\times 10^{n-1}(C_1^n + C_3^n + C_5^n + \dots)
= 2\times 10^{n-1}(2^{n-1}) = 2^n10^{n-1}

而無獲,失敗也。

其實以上習題不難,同學,幫我解決吧。

之後我猜想,會否有以下結果:

For sufficiently large n, we have

1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 9^n + 10^n < 11^n

(估計上式成立於整數 n \ge 7

甚至更一般的

\sum_{k=1}^mk^n < (m+1)^n for sufficiently large n

於是想一想證明,結果發覺是頗容易的,比如解上述習題:

For integer n, prove that 9^n + 10^n < 11^n iff n \ge 5.

9^n + 10^n
< 10^n + 10^n
= 2(10^n)

set

2(10^n) < 11^n
\Longleftrightarrow \log2 + n < n\log11
\Longleftrightarrow n > \frac{\log2}{\log11 - 1} \approx 7

即當

n > 79^n + 10^ < 11^n 成立。

檢查一下,當 n = 5,6,7 時,9^n + 10^ < 11^n 也成立。證畢。

用同樣手法,不難得到:對足夠大的 n 值,有

1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n + 7^n + 8^n + 9^n + 10^n < 11^n

\sum_{k=1}^mk^n < (m+1)^n

等等。

3.

著中四同學證明

對於正整數 n\frac{n^2(n+1)^2}{4} 必然也是正整數。

我期望他們以 n(n+1) 必為偶數破之,但有同學的解是

\frac{n^2(n+1)^2}{4} = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2 證畢。

喜出望外也。

唯望他們不會給我愈教愈差。

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