Quod Erat Demonstrandum

2010/10/18

某插值法習題

Filed under: Additional / Applied Mathematics,HKALE — johnmayhk @ 2:56 下午
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一道普通的題:

f(x) = \sin(\frac{\pi}{2}x)

設多項式 p(x) 使 p(0) = f(0), p(1) = f(1), p(2) = f(2)

估計絕對誤差 |f(x) - p(x)| 在區間 (0.5,1) 上的上限。

學生給出以下答案,有少許問題可以談談。

f^{(3)}(x) = -(\frac{\pi}{2})^3\cos(\frac{\pi}{2}x)

x \in (0.5,1)

|f^{(3)}(x)| \le \frac{\pi^3}{8}\cos(\frac{\pi}{2}(0.5)) = \frac{\pi^3}{8\sqrt{2}}

|f(x) - p(x)| = \frac{|f^{(3)}(\xi)|}{6}|x(x-1)(x-2)| ……… (*)

因為當 x \in (0.5,1)

|x(x-1)(x-2)| \le |(0.5)(0.5-1)(0.5-2)| = \frac{3}{8}

所以,當 x \in (0.5,1)

|f(x) - p(x)| \le \frac{1}{6}\frac{\pi^3}{8\sqrt{2}}(\frac{3}{8}) = \frac{\pi^3}{128\sqrt{2}}

大家覺得如何?問題在哪?

停一停,想一想。

問:在 (*) 中的 \xi 是什麼?

它介乎於 0 至 2 之間,和 p(x), f(x) 有關。

一旦固定了 x 值,(*) 中的 \xi 是已經確定。

現在我們人為地限制了 x 在區間 (0.5,1),只影響了 (*) 中 |x(x-1)(x-2)| 的最大值,

但不能也限制 \xi 也一定要在區間 (0.5,1) 內。

即就算取 x = 0.8 (say),在 (0.5,1) 內,但 (*) 中的 \xi 只服從(原設定)在區間 [0,2] 的要求。

所以,就算考慮 x \in (0.5,1),我們只能作最保守估計:

|f^{(3)}(\xi)| = \frac{\pi^3}{8}|\cos(\frac{\pi}{2}\xi)| \le \frac{\pi^3}{8} for \xi \in [0,2]

|f(x) - p(x)| \le \frac{\pi^3}{128}

當然,我們可以得出比 \frac{\pi^3}{128} 更好(小)的上限,比如知道

|f(x) - p(x)| 在區間 [0.5,1] 內下降,那麼

|f(x) - p(x)| \le |\sin(\frac{\pi}{2}\times 0.5) - (-(0.5)^2 + 2(0.5))| \approx 0.042893219 for x \in [0.5,1]

上限較 \frac{\pi^3}{128} 好。

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