Quod Erat Demonstrandum

2010/10/21

因式分解二次多項式

Filed under: NSS — johnmayhk @ 5:37 下午
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教 sum and product of roots,設 \alpha, \beta 為二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根(roots),則

ax^2 + bx + c \equiv a(x - \alpha)(x - \beta) ………. (*)

從而得

ax^2 + bx + c \equiv ax^2 - a(\alpha + \beta)x + a\alpha\beta

再由比較係數,知

\alpha + \beta = \frac{-b}{a}
\alpha\beta = \frac{c}{a}

梁同學問:「為何可以比較係數?」

答:「(*) 是恆等式。」

梁:「但為何 (*) 是真的?」

答:「

一、
ax^2 + bx + c = 0 的根是 \alpha\beta
a(x - \alpha)(x - \beta) 的根也是 \alpha\beta

二、
ax^2 + bx + c = 0 中,x^2 的係數是 a
a(x - \alpha)(x - \beta) 中,x^2 的係數也是 a

所以
ax^2 + bx + c = 0a(x - \alpha)(x - \beta) 是恆等的。」

梁:「為何符合『相同根』和『相同 x^2 係數』就可說明『ax^2 + bx + c = 0a(x - \alpha)(x - \beta) 是恆等的。』?還有沒有第三個條件?」

對剛剛中四同學,應怎樣說明?

重述梁之問題:

\alpha, \beta 為二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根,證明

ax^2 + bx + c \equiv a(x - \alpha)(x - \beta)

{解釋一}

注意,在現階段,他們沒有什麼因式定理(factor theorem)之類的知識。

但他們已懂因式分解:p^2 - q^2 \equiv (p + q)(p - q)

我們可從這個入手。

\alphaax^2 + bx + c = 0 的其中一個根,

a\alpha^2 + b\alpha + c = 0

那麼,我們有

ax^2 + bx + c \equiv ax^2 + bx + c - 0
ax^2 + bx + c \equiv ax^2 + bx + c - (a\alpha^2 + b\alpha + c)
ax^2 + bx + c \equiv a(x^2 - \alpha^2) + b(x - \alpha)
ax^2 + bx + c \equiv a(x - \alpha)(x + \alpha) + b(x - \alpha)
ax^2 + bx + c \equiv (x - \alpha)(a(x + \alpha) + b) ………. (*)

另外,因 \beta 也是 ax^2 + bx + c = 0 的一個根,

a\beta^2 + b\beta + c = 0

由 (*),代入 x = \beta,得

a\beta^2 + b\beta + c = (\beta - \alpha)(a(\beta + \alpha) + b)
0 = (\beta - \alpha)(a(\beta + \alpha) + b)

如果 \beta \ne \alpha,則上式進一步化簡為

a(\beta + \alpha) + b = 0 [看,這裡順便得到 \alpha + \beta = -\frac{b}{a}

所以 (*) 可變成

ax^2 + bx + c \equiv (x - \alpha)(a(x + \alpha) + b - 0)
ax^2 + bx + c \equiv (x - \alpha)(a(x + \alpha) + b - (a(\beta + \alpha) + b))
ax^2 + bx + c \equiv (x - \alpha)(a(x - \beta))
ax^2 + bx + c \equiv a(x - \alpha)(x - \beta)

看,這就是了。

如果 \beta = \alpha,即 ax^2 + bx + c = 0 有重根(repeated root) \alpha

由 (*),即

(x - \alpha)(a(x + \alpha) + b) = 0 有重根 \alpha

同學不難想像,解

(x - \alpha)(a(x + \alpha) + b) = 0

時,得

x - \alpha = 0a(x + \alpha) + b = 0

因有重根 \alpha

a(\alpha + \alpha) + b = 0

那麼,(*) 可變成

ax^2 + bx + c \equiv (x - \alpha)(a(x + \alpha) + b - 0)
ax^2 + bx + c \equiv (x - \alpha)(a(x + \alpha) + b - (a(\alpha + \alpha) + b))
ax^2 + bx + c \equiv (x - \alpha)(a(x - \alpha))
ax^2 + bx + c \equiv a(x - \alpha)(x - \alpha)
ax^2 + bx + c \equiv a(x - \alpha)^2

{解釋二}

當時沒有和梁同學談{解釋一},因自己很累,故用「不太好」的{解釋二}快答如下:

要確定二次多項式 ax^2 + bx + c

我們就要決定 a,b,c 的值。

那麼「理論上」,我們要用三個資料(或關係)確定之。

那三個資料就是兩個根,再多一個係數。

用「3 個資料定 3 個 unknown」來解釋,梁同學似乎滿意,

但他繼續問:「為何要選用 x^2 的係數?」

答:「無所謂,你可以其他係數定之,例如 x 的係數。」

可能他還有更多其他問題,當時梁同學竟沒有追問這個,那我算了。

其他問題包括:「什麼是實數?」

非常好,但那時我實在「腦殘」中,找了 C.J. Tranter 的 Techniques of Mathematical Analysis 給他自己看,但他看一看立即退回給我。

另外,上課有更多「無聊」的提問(有心情再記),可能學生知我無聊,所以會問我「無聊」問題,正如本篇的那一個。

2 則迴響 »

  1. […] 梁同學問「為何可以比較?」也不是第一次(例如這裡),問題是我不是學者,很難以深入淺出的方法向中四的梁同學解明。(莫非一句「線性獨立」完事?盼高手指引。) […]

    通告 由 又來比較係數 « Quod Erat Demonstrandum — 2010/12/28 @ 11:44 下午 | 回覆


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