Quod Erat Demonstrandum

2010/10/24

M2 某短題

Filed under: NSS — johnmayhk @ 6:43 下午

學期初(九月)因部份修 M2 的同學已自修了整個課程,他們上堂時自行做數看書,不用理會我。那天我才剛剛開始談 differentiation techniques,F.5 的張同學問:

若三維向量 \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} 非共面(non-coplanar),

如何證明 \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}, \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}, \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a} 也是非共面?

(其實那是充要條件)

當然,想一想其幾何情況,立即知結果;但張同學問,除了直接「爆散」以下式子外

(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})

有沒有快捷方法?

三維向量曾經在純數課程內,但已刪除多年,現在又重新出現於 M2 課程,可能是這樣,授課員由熟悉漸漸陌生,現在又是再重拾。

身為授課員的我連

(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) 的關係也不未必能即時道出,更遑論可以秒殺地運用拉格朗日公式(Lagrange’s formula)

\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{b}(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{c}(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})

解之。

修 M2 的同學,試利用上式,證明

(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})
= |(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}|^2

\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} 非共面,即

(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} 非零,證畢。

拉格朗日公式何用?身為中學數學授課員的我,只知三維向量是研究三維幾何的其中一種工具,比方是球面三角學。而我們身處的地球,根本不是平面,而是比較像一個球體,故研究球面上的幾何,應更「貼近生活」吧。

不難想像球面上的三角形是何模樣,同學,也可動動手(指)看看:

http://mathworld.wolfram.com/SphericalTriangle.html

網上找來頗清楚的球面三角形,見下:

留意,三角形 ABC 的邊,是所謂的大圓弧(arcs of great circles)。球面上的大圓,就是半徑和球體半徑相同的圓。

為何以大圓弧作為球面三角形的邊?

設球面上有兩點 A 和 B,想像螞蟻由 A 爬到 B,若它沿著過 A 和 B 的大圓爬行,則爬行距離是最短的(突然想不出用什麼初等方式證明,只參考這裡)。(歐幾里德)平面上兩點間之最短路徑是直線,而球面上兩點間之最短路徑則是大圓弧(更一般:測地線 Geodesic),故自然地以大圓弧作為球面上多邊形的邊。

平面上的三角形有不少值得研究的特性,比如正弦定律(sine law),那麼球面三角形有沒有正弦定律?有的,見下:

首先,如何描述(比方說)角 A 的大小?

\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q} 分別切大圓弧 AB 和 AC 於 A 點。那麼 \overrightarrow{p}\overrightarrow{q} 的夾角,就是角 A 的大小。

如何尋求角 A 的大小?

由「切線垂直半徑」這個圓的幾何特性,可見 \overrightarrow{p}\overrightarrow{q} 分別垂直大圓直徑 AA’(見圖)。正因如此,\overrightarrow{p}\overrightarrow{q} 的夾角,就是平面 ACA’ 和 ABA’ 的夾角。

這裡注意,參考上圖,設 O 為球體圓心,則 \angle COB 並非平面 ACA’ 和 ABA’ 的夾角,因為 AA’, BB’ 和 CC’,它們沒有必要互相垂直。

如何尋求兩面夾角?

當天,純數課程仍有三維向量這課題,故回應上述提問,授課員應該立即想到:量度兩面的法向量(normal vectors)便可,但到今天,課題被刪多年,我已沒有當天來得像「自然反應」了。

\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA}
\overrightarrow{b} = \overrightarrow{OB}
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{OC}

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} 就是平面 ABA’ 和 ACA’ 的(某)兩支法向量。(參考上圖,右手法則定了方向後)它們的夾角,就是 A,故

|(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})| = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}||\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}|\sin A ………. (*)

運用拉格朗日公式,

(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})
= \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{c}(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a})
= \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})

從而 (*) 變成

|\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\angle AOB |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|\sin\angle AOC (\sin A)

設球體半徑為 R ,即

|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = R,故上式進一步化簡為

|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}| = R^3\sin A\sin\angle AOB\sin\angle AOC

修 M2 的同學應知道,|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}| 是以 OA, OB, OC 為鄰邊的平行六面體(parallelepiped)之體積,命之為 V。則上式進而變為:

\sin A = \frac{V}{R^3\sin\angle AOB\sin\angle AOC} ………. (#)

再命

\angle BOC = a
\angle AOC = b
\angle AOB = c

(#) 再化為

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{V}{R^3\sin a\sin b\sin c}

類似地,我們有

\frac{\sin B}{\sin b} = \frac{V}{R^3\sin a\sin b\sin c}
\frac{\sin C}{\sin c} = \frac{V}{R^3\sin a\sin b\sin c}

即我們可推論球面上的正弦定律,如下:

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}

有興趣找更多資料的同學,可往:

http://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html

關於球面幾何,網上自學材料甚多,隨便找一個相信也不錯的教學影片(雖沒有細看)

http://www.mindset.co.za/learn/node/46354

8 則迴響 »

  1. That question was really a tricky one without any background on Lagrange’s formula(me) at that moment.

    迴響 由 Matthew Cheung — 2010/10/24 @ 11:30 下午 | 回覆

  2. I try to do it in the following way:

    Assume that axb, bxc, cxa are coplanar, then there exist a non-trivial linear relation such that

    R(axb)+S(bxc)+T(cxa) = 0 where R,S,T are scalars and they are not all zero.

    If we take the dot product of the above expression with the vector a, we have

    R(axb)*a + S(bxc)*a + T(cxa)*a = 0
    S(bxc)*a = 0

    (bxc)*a is non-zero, so S must be zero.

    Using similar arguments, we can deduce that R,S,T are all zero.

    Contradiction exists.

    axb, bxc, cxa can’t be coplanar.

    迴響 由 Tabby — 2010/10/25 @ 12:26 下午 | 回覆

    • Thank you Tabby, nice method!

      The phrase like “linearly dependent" is avoided in the solution, and students may be easy to imagine that for coplannar vectors P,Q,R, P = qQ + rR etc.

      迴響 由 johnmayhk — 2010/10/25 @ 12:49 下午 | 回覆

  3. 我覺得用 Einstein notation 係最易的方法去推導 Vector identities

    http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation

    迴響 由 Lok — 2010/10/26 @ 3:07 上午 | 回覆

    • 感謝 Lok 博士賜教!晚生受益!我對張量分析有點興趣,有沒有好書推介?謝謝!

      迴響 由 johnmayhk — 2010/10/26 @ 8:37 上午 | 回覆

  4. john Sir 言重了,老師的數學修為勝我很多倍。

    很多物理人(包括我)只著重運算,可能數學會不夠嚴緊,如果不嫌"那渣",可以一看:
    http://www.amazon.com/Mathematical-Methods-Physicists-George-Arfken/dp/0120598256
    Chapter. 2

    而應用方面,通常同重力有關:
    http://www.amazon.com/Gravity-Introduction-Einsteins-General-Relativity/dp/0805386629/ref=pd_bxgy_b_img_a

    另外,介紹一個"那渣"function:Dirac delta function
    http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function
    數學家不認為這是 function,但係物理人就日日用。

    迴響 由 Lok — 2010/10/26 @ 7:04 下午 | 回覆

    • Thank you Lok! I’ll try to study and learn deeply.

      迴響 由 johnmayhk — 2010/10/27 @ 10:08 上午 | 回覆


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