Quod Erat Demonstrandum

2010/10/27

玩玩系列:二次方程

Filed under: HKALE,NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 10:11 上午

問題

1. 設 a,b,c 是奇數(odd numbers),證明 ax^2 + bx + c = 0 無整數根(integral root)。
2. 已知 e\pi 是超越數,證明 e + \pie\pi 兩者中起碼一個是超越數。

提示

1. 如果 \alpha 是奇數,那麼 a\alpha^2 + b\alpha + c 也是奇數嗎?

2. 實數(Real numbers)可分兩類:代數數(Algebraic numbers)和超越數(Transcendental number)。

所謂代數數(Algebraic numbers over \mathbb{Q}),即有理數係數多項式方程(polynomial equation with rational coefficients)的一個根(root)。例如 \sqrt{2} 是代數數,因為它是 x^2 - 2 = 0 的一個根;\sqrt[3]{4} 是代數數,因為它是 x^3 - 4 = 0 的一個根。至於超越數,就是非代數數,即它並非有理數係數多項式方程的一個根。詳情可參考:

http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number

事實上:若 \alpha 是某多項式方程的根,而該多項式的係數是代數數的話,那麼 \alpha 也是代數數

解答

1.

\alphaax^2 + bx + c = 0 的根,即

a\alpha^2 + b\alpha + c = 0 ………. (*)

\alpha 是整數,

情況一:\alpha 是奇數,

a\alpha^2b\alpha 也是奇數,

故 (*) 中方程左邊也是奇數,即不可能等於零!

情況二:\alpha 是偶數(even number),

a\alpha^2 + b\alpha + c = \alpha(a\alpha + b) + c 是奇數,

同樣不可能出現 (*)。

ax^2 + bx + c = 0 無整數根。

2.

[Sum of roots] S = e + \pi
[Product of roots] P = e\pi

x^2 - Sx + P = 0 ………. (*)

的根是 e\pi

那麼 (*) 中的係數 SP 肯定不能同時是代數數,否則 (*) 的根 e\pi 也是代數數了,不合!故 SP 起碼一個是超越數。

[回帶] 關係代數數的純數習題
https://johnmayhk.wordpress.com/2008/09/06/algebraic-numbers/


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/d/d1/Algebraicszoom.png/800px-Algebraicszoom.png
複平面上的代數數,好像是夜空的星…

2 則迴響 »

  1. The first problem remains true if we replace integral roots by rational roots. This follows directly from the Rational Root Theorem.

    To check the existence of integral roots, we may use the fact that for a polynomial p(x) over Z,
    if p(0) and p(1) are both odd integers, then it has no integral roots.

    迴響 由 Ghaleo — 2010/10/29 @ 1:19 下午 | 回覆


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