Quod Erat Demonstrandum

2010/11/02

開放日開放數學

Filed under: Fun,Pure Mathematics,School Activities — johnmayhk @ 3:22 下午

基於假設:參觀開放日的來賓不會細看文字,故數學組的攤位不會太數學,文字盡量少。加上房間佈置成黑迷宮:one-way out,谷人流,來賓閱讀資料之意欲甚低。

把一個結果靜俏俏地 print 在某 A4 紙上:

\frac{1}{998999} = 0.000001001002003005008013021034055...

想得更多小數位,見:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F998999

同學留意,\frac{1}{998999} 的小數位內,出現數列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots

就是中一同學熟識的斐波那契數列(Fibonacci Sequence)。

對於斐氏數列存在於 \frac{1}{998999},有沒有驚訝之感?

這裡略談,高手見諒。

小數

0.000001001002003005008013021034055...

可表如下

\frac{1}{10^6} + \frac{1}{10^9} + \frac{2}{10^{12}} + \frac{3}{10^{15}} + \frac{5}{10^{18}} + \dots

\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{10^{3+3k}}

其中 {a_n} 就是斐氏數列,即

a_0 = 0
a_1 = 1
a_{n+2} = a_{n+1} + a_n (其中 n \ge 0

但斐氏數列的通項(general term),其實有一個具體表達式,即

\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n - \beta^n)

其中,\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}

(注 1:修純數或 M2 的同學,試用(比方說 M.I.)證之。)
(注 2:\alpha, \betax^2 - x - 1 = 0 的根。)

\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{10^3+3k}

= \frac{1}{10^3\sqrt{5}}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{10^{3k}}(\alpha^k - \beta^k)

= \frac{1}{10^3\sqrt{5}}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty ((\frac{\alpha}{10^3})^k - (\frac{\beta}{10^3})^k)

= \frac{1}{10^3\sqrt{5}}(\frac{1}{1 - (\alpha/10^{3})} - \frac{1}{1 - (\beta/10^{3})})

= \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{10^3 - \alpha} - \frac{1}{10^3 - \beta})

= \frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{\alpha - \beta}{(10^3 - \alpha)(10^3 - \beta)})

= \frac{1}{\sqrt{5}}\frac{\sqrt{5}}{10^6 - 10^3(\alpha + \beta) + \alpha\beta}

= \frac{1}{1000000 - 1000 - 1}

= \frac{1}{998999}

我們知道 \frac{1}{998999} 是有理數,故其小數點後的數字,不可能出現「整個」斐氏數列。事實上,它是循環小數(repeating decimal),有頗長的循環節位數(period)(是多少?如何計算出來?)

另外,我也貼了一些公式,如

\pi = 2\times\frac{2 \times 2}{1 \times 3} \times \frac{4 \times 4}{3 \times 5} \times \frac{6 \times 6}{5 \times 7} \times \dots

(這個容易,考慮 \int_{0}^{\pi/2} \sin^n\theta d\theta 便可證明,也順道看看:

http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html

和 Srinivasa Ramanujan 的美麗公式

1 + \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{1 \times 3 \times 5} + \frac{1}{1 \times 3 \times 5 \times 7} + \dots = \sqrt{\frac{\pi e}{2}}

如何證明?盼高手賜教。

拉馬努金(Srinivasa Ramanujan),沒受過正規的高等數學教育,卻憑「直覺」導出很多深刻的公式,有興趣看看這名印度大數學家的介紹,可往:

http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

1 則迴響 »

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