Quod Erat Demonstrandum

2010/11/04

克萊姆法則

Filed under: NSS,Pure Mathematics — johnmayhk @ 6:04 下午
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早前,黎同學問了一個問題。

推論克萊姆法則(Cramer’s rule),我們經歷一些步驟,見下:

對於線性方程組

\left \{ \begin{array}{ll} ax + by + cz = k_1\\dx + ey + fz = k_2\\gx + hy + iz = k_3\end{array}\right.

\Delta = \left|\begin{array}{rcl}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{array}\right|

a,b,c,\dots,i 的餘因式(cofactors)分別為 A,B,C,\dots,I

那麼,方程組內的三條式,分別乘以 A,D,G,即

\left \{ \begin{array}{ll} aAx + bAy + cAz = k_1A\\dDx + eDy + fDz = k_2D\\gGx + hGy + iGz = k_3G\end{array}\right.

三式加起來,得

(aA+dD+gG)x + (bA+eD+hG)y + (cA+fD+iG)z = k_1A+k_2D+k_3G ………. (*)

由行列式特性,易知

aA+dD+gG = \Delta
bA+eD+hG = cA+fD+iG = 0 [註 1]
k_1A+k_2D+k_3G = \Delta_x

故 (*) 變成

x\Delta = \Delta_x

類似步驟,得

(**) \left \{ \begin{array}{ll} x\Delta = \Delta_x\\y\Delta = \Delta_y\\z\Delta = \Delta_z\end{array}\right.

所以,當 \Delta \ne 0,有 x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z = \frac{\Delta_z}{\Delta},即克萊姆法則是也。

但若 \Delta = \Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0 時,觀察 (**),黎同學認為,因 (**) 有無限個解,而它由原方程組 (*) 推導出來,故原方程組 (*) 都應有無限個解。

不過,黎同學也指出,諸如以下方程組

\left \{ \begin{array}{ll} x + 2y + 3z = 1\\2x + 4y + 6z = 2\\3x + 6y + 9z = 5\end{array}\right.

\Delta = \Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0,但它是無解的。

問題出於哪裡?停一停,想一想。

上例的係數矩陣

\left(\begin{array}{rcl}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)

其第二三行根本由第一行,分別乘以某非零常數而得出(故其秩 rank 是 1),即任一個 entry 的餘因式,比如

\left|\begin{array}{rcl}4 & 6\\ 6 & 9\end{array}\right|, -\left|\begin{array}{rcl}2 & 3\\ 6 & 9\end{array}\right| 等,都是零。

那麼,返回克萊姆法則之推導過程

\left \{ \begin{array}{ll} aAx + bAy + cAz = k_1A\\dDx + eDy + fDz = k_2D\\gGx + hGy + iGz = k_3G\end{array}\right.

當中的餘因式 A,D,G 其實統統是零。

想一想,把方程組內的等式乘以零,對解方程有幫助嗎?

比如以下方程組

\left \{ \begin{array}{ll} x + y = 3\\x - y = 1\end{array}\right.

\left \{ \begin{array}{ll} x + y = 3\\2x + 2y = 6\end{array}\right.

\left \{ \begin{array}{ll} x + y = 3\\x + y = 4\end{array}\right.

依次有唯一解、無限個解和無解。但把等式「乘以零」,則一律得

\left \{ \begin{array}{ll} 0x + 0y = 0\\ 0x + 0y = 0\end{array}\right.

或,自由地寫

\left \{ \begin{array}{ll} 0x = 0\\ 0y = 0\end{array}\right.

可是,這並不表示原本三個方程組,統統都有無限個解。

再打個比方

x^2 = 9 有兩個解(3 和 -3),但我們可以說

「因為 0x^2 = 0\times 9 = 0,有無限個解,所以原式 x^2 = 9 都有無限個解」嗎?明顯不能。

補充,「乘以零」改變了原方程的解(上例,由 3,-3 變成無限個解),而高斯消元法(Gaussian Elimination)的行運算(row operations),是不會影響原方程組的解。

[註 1] 或許同學忘記,略解

bA+eD+hG = \left|\begin{array}{rcl}b & b & c\\ e & e & f\\ h & h & i\end{array}\right| = 0

cA+fD+iG = \left|\begin{array}{rcl}c & b & c\\ f & e & f\\ i & h & i\end{array}\right| = 0

2 則迴響 »

  1. 咁如果唔計依一類(三條式都係由一式乘常數而成)既system,
    咁4個Delta都係0既時候,可以聲稱system有無限解嗎?

    迴響 由 Carmen — 2010/11/04 @ 8:47 下午 | 回覆

    • Carmen

      都是用高斯消去(元)法來判斷方程組的解之情況較佳。

      或反問你,比如,除了

      \Delta = \Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0 外,還要加添什麼條件,以確保方程組有解?

      迴響 由 johnmayhk — 2010/11/05 @ 12:08 下午 | 回覆


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