Quod Erat Demonstrandum

2010/11/05

找二次方程

Filed under: NSS — johnmayhk @ 12:05 下午

免插聲明:純粹答中四同學提問,高手見諒。

當天用一分鐘解以下問題:

設 \alpha, \beta 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (c \ne 0) 的根(roots),求一個二次方程,其根為 \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta}

x = \frac{1}{y},代入

ax^2 + bx + c = 0,得

a(\frac{1}{y})^2 + b(\frac{1}{y}) + c = 0

a + by + cy^2 = 0

故此,要求的方程可以是

cx^2 + bx + a = 0

及後,梁同學連續兩天追問:為什麼?並要求我解釋,我著他自己先想想,不獲,故現解之,高手見諒。

因為 \alpha, \beta 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根,故此

(*) \left \{ \begin{array}{ll} a(\alpha)^2 + b(\alpha) + c = 0\\ a(\beta)^2 + b(\beta) + c = 0\end{array}\right.

好了,現在要尋找一條二次方程,以 \frac{1}{\alpha}\frac{1}{\beta} 為根。

\left \{ \begin{array}{ll} y_1 = \frac{1}{\alpha}\\ y_2 = \frac{1}{\beta}\end{array}\right.

那麼,我們希望尋找一條二次方程,以 y_1, y_2 為根。

但是,y_1, y_2 有何關係?可以透過 \alpha, \beta 聯繫,即

\left \{ \begin{array}{ll} \alpha = \frac{1}{y_1}\\ \beta = \frac{1}{y_2}\end{array}\right.

而由 (*),即得到

\left \{ \begin{array}{ll} a(\frac{1}{y_1})^2 + b(\frac{1}{y_1}) + c = 0\\ a(\frac{1}{y_2})^2 + b(\frac{1}{y_2}) + c = 0\end{array}\right.

化簡一下

\left \{ \begin{array}{ll} a + b(y_1) + c(y_1)^2 = 0\\ a + b(y_2) + c(y_2)^2 = 0\end{array}\right.

可見,y_1, y_2 就是 a + by + cy^2 = 0 的根。

亦即,\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta} 就是 a + by + cy^2 = 0 的根。

(注:隨便「換件衫」,得:「\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta} 就是 a + bx + cx^2 = 0 的根。」)

事實上,我們做了兩次類似的步驟:把 \alpha = \frac{1}{y_1}\beta = \frac{1}{y_2} 代入 (*),

動作就是把 \alpha = \frac{1}{y_1}\beta = \frac{1}{y_2} 代入原式 ax^2 + bx + c = 0

把動作合而為一,即把 x = \frac{1}{y} 代入原式 ax^2 + bx + c = 0

得出一條 a + by + cy^2 = 0,其根自動是所謂 y_1, y_2 了。

::::::::::

用類似手法可解以下提問:

設 \alpha, \beta 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根,求一個二次方程,其根為 \alpha^2\beta^2

y = x^2,代入 ax^2 + bx + c = 0,得

ay + bx + c = 0
bx = -ay - c
b^2x^2 = a^2y^2 + 2acy + c^2
b^2y =  a^2y^2 + 2acy + c^2
a^2y^2 + (2ac - b^2)y + c^2 = 0

若題目要求找:equation in x,答之曰:

a^2x^2 + (2ac - b^2)x + c^2 = 0

::::::::::

這裡不過是提供多一個方法,對於一些問題,比如

設 \alpha, \beta 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根,求一個二次方程,其根為 \alpha^3\beta^3

也許考慮

x^2 - (\alpha^3 + \beta^3)x + (\alpha^3 \beta^3) = 0

更為方便。

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